ÁLGEBRA: CONCEPTOS Y OPERACIONES
LIBRO INTERACTIVO



Margarita Patiño Jaramillo - Olga Lucía Villa Vlelásquez




Matematica Básica







Politécnico Colombiano Jaime Isazza Cadavid

Medellín

2022

ÁLGEBRA: CONCEPTOS Y OPERACIONES


Margarita Patiño Jaramillo
Olga Lucía Villa
Primera edición: 2022



Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera-Berrío
Diseño de cubierta: Margarita Patiño-Jaramillo
Librería turn.js: Emmanuel García
Herramienta de edición: DescartesJS
Fuente: Amaranth

Fondo Editorial Pascual Bravo
Calle 73 73A-226
PBX: (574) 4480520
Apartado 6564
Medellín, Colombia
www.pascualbravo.edu.co


Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual. Todos los objetos interactivos y los contenidos de esta obra colectiva están protegidos por la Ley de Propiedad Intelectual.



TABLA DE CONTENIDO

Introducción9

INTRODUCCIÓN

Algo de historia9

Importancia del álgebra10

Competencias12

Álgebra conceptos y operaciones13

EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS15

Polinomios18

Grado de un polinomio19

Taller para identificar las características de las expresiones algebraícas21

Suma y resta de polinomios23

Resta de polinomios 26

Taller suma y resta de polinomios 28

Multiplicación de polinomios 29

Multiplicación de una constante por un polinomio30

Multiplicación de polinomios 31

División de polinomios36

División de monomios37

División de un polinomio por un monomio38

División de un polinomio entre otro polinomio40

Reglas para dividir polinomios41

Regla de Ruffini54

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PREFACIO

Este libro digital interactivo se ha diseñado con fundamento en la filosofía del Proyecto Descartes: con la intención de entregarlo a la comunidad académica de la aldea global, sin ánimo de lucro, solo con el objetivo de iniciar las competencias expresiones algebraicas para estudiantesde bachillerato y universidad, esperando tan solo como retribución el uso y difusión de estos contenidos. El contenido del libro, al igual que los objetos interactivos se han diseñado de tal forma que se puedan leer en ordenadores y dispositivos móviles sin necesidad de instalar ningún programa o plugin. El libro se puede descargar para su uso en local sin dependencia con la red, a excepción de los ocho vídeos incluidos en el texto. Algunos de los objetos interactivos se han diseñado con el Editor DescartesJS.

La herramienta Descartes se caracteriza por una innata interactividad, por permitir realizar representaciones de objetos bi y tridimensionales, por gestionar expresiones de texto y de fórmulas, por integrar objetos multimedia como imágenes, audios y vídeos, por tener la posibilidad de reflejar casos concretos y también potenciar la conceptualización de tareas y procedimientos mediante la utilización de semillas aleatorias y controles numéricos, gráficos y de texto, y con ellos poder abordar la evaluación de manera automática, tanto la correctiva como la formativa. Con Descartes es posible el diseño y desarrollo de objetos educativos que promueven el aprendizaje significativo, posibilitando esa deseada construcción del conocimiento.1



El libro se basa en documentos que han sido editados de manera altruista, semejante a la nuestra y, está regerido a un capítulo de la mátemática básica a nivel universitario, como el el álgebra con sus conceptos y operaciones, bajo la filosofía del Proyecto Descartes, con el propósito de orientar a los iniciados en la materia, a nivel básica secundaria y primeros niveles de la universidad en el área de ciencias e ingeniería.

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Este libro interactivo muestra que el álgebra es una rama de las matemáticas que utiliza no solo números y signos, sino también letras para resolver operaciones. Visto de otro modo, el álgebra busca hallar el valor numérico de variables denominadas incógnitas.

Álgebra es la rama más importante de matemáticas. Su uso está en toda nuestra vida diaria. Ya que su nombre significa “la reducción” (álgebra viene del árabe al yabr) es muy útil para simplificar muchos trabajos y cuentas que usamos en todas las cosas.Para mí, álgebra se aplica cuando hacemos las compras.

El Algebra es útil principalmente para agilizar tu mente aunque aparentemente pienses que no te sirve de nada en tu vida diaria, es importante por que te ayuda a deducir y procesar toda la información que recibes durante el día de tal forma que puedas sacar conclusiones y resolver problemas.

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AGRADECIMIENTOS

Para esta producción, se ha requerido el apoyo de personas que con su sapiencia me han apoyado y dirigido, como ha sido el maestro Juan Guillermo Rivera Berrío, Vicerrector académico de la Institución Universitaria Pascual Bravo.

Nota: se hace mención a PNGTREE, productores de imágenes en formato png, a quien se ha comprado la licencia para el uso de las imágenes que hacen honor a la tierra y en general al medio ambiente.

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De los autores

MARGARITA EMILIA PATIÑO JARAMILLO - Profesora PoliJic

OLGA LUCÍA VILLA VELÁSQUEZ - Profesora PoliJic

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INTRODUCCIÓN



El álgebra es una de las principales ramas de las matemáticas. Su objeto de estudio son estructuras abstractas operando en patrones fijos, dentro de las cuales suele haber más que números y operaciones aritméticas: también letras, que representan operaciones concretas, variables, incógnitas o coeficientes.

Dicho de modo más simple, se trata de la rama de las matemáticas que se ocupa de operaciones con y entre símbolos, representados generalmente por letras. Su nombre proveniente del árabe al-ŷabr (“reintegración” o “recomposición”), pues es una de las ramas de la matemática que mayores aplicaciones poseen. Permite representar los problemas formales de la vida cotidiana. Por ejemplo, las ecuaciones y las variables algebraicas permiten calcular las proporciones desconocidas.

ALGO DE HISTORIA

El álgebra nació en la cultura árabe, alrededor del año 820 d. C., fecha en que se publicó el primer tratado al respecto: Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷarabi waˀl-muqābala, es decir, “Compendio de cálculo por reintegración y comparación”, obra del matemático y astrónomo persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, conocido como Al Juarismi.Estos estudios eventualmente se abrieron camino hacia Occidente. Gracias a ellos el álgebra abstracta surgió en el siglo XIX, basada en la consolidación de los números complejos durante los siglos previos, fruto de pensadores como

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Gabriel Cramer (1704-1752), Leonhard Euler (1707-1783) y Adrien-Marie Legendre (1752-1833)1.

IMPORTANCIA DEL ÁLGEBRA

El álgebra es sumamente útil dentro del campo de la matemática, pero también posee grandes aplicaciones en la vida cotidiana. Permite llevar a cabo presupuestos, facturación, cálculos de costos, beneficios y ganancias,demás, otras operaciones de importancia en la contabilidad, administración e incluso la ingeniería, se sostienen en base a cálculos algebraicos que manejan una o varias variables, expresándolas en relaciones lógicas y patrones detectables .

El manejo del álgebra permite a los individuos lidiar mejor con conceptos complejos y abstractos, expresándolos de un modo más sencillo y ordenado mediante la notación algebraica.

En ocasiones has visto expresiones como la siguiente:

Con ella representamos la propiedad conmutativa de la suma. Esta propiedad es cierta para cualquier par de números y por ello utilizamos letras en lugar de valores concretos.



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Video Importancia del álgebra: El álgebra en la vida cotidiana

Obtenido en: https://www.youtube.com/watch?v=XdQNsTJ7R3I


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COMPETENCIAS




  • Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos.

  • Saber interpretar la información lingüística en su expresión numérica en un texto dado.

  • Dominar el uso de la calculadora como ayuda para la resolución de problemas matemáticos.

  • Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos.

  • Resuelve expresiones algebraicas utilizando las propiedades y operaciones algebraicas.

  • En una situación específica: Realiza operaciones con polinomios.






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    EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

    Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS y se representan por la letras del alfabeto.


  • UNA EXPRESIÓN ALGEBRÁICA es una combinación de letras y números relacionados por los signos de las operaciones aritméticas: adición (+), sustracción (-), multiplicación, división y potenciación.
  • TERMINO ALGEBRAICO

    Un término algebraico es una expresión en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Consta de:

  • signo: ( + ó - )
  • coeficiente numérico o número
  • factor literal o letra
  • Exponente
  • La expresión algebraica esta conformada por TÉRMINOS

    Nuestra expresión Algebraica modelo está conformada por tres términos: (3y ), (-2xy), (8)





    veamos:

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    Figura 1. elaboración propia

  • Entonces, UN TÉRMINO es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos separados únicamente por la multiplicación o la división. Aquí no hay sumas ni restas para separarlos.

  • GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO: Se denomina grado absoluto de un término algebraico a la suma de los exponentes de sus factores literales:
  • 3x3, este término es de grado tres, porque su exponente es 3.
  • -5x2y3, es de grado 5, porque la suma de los exponentes de de cada uno de los factores literales es 2 + 3 = 5

  • GRADO RELATIVO: Está dado por el exponente de la variable considerada.
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  • -5x2y3 : Es de 2º grado con respecto a la variable x.
  • -5x2y3 : Es de 3er grado con respecto a la variable y.
  • POLINOMIO

    Un Polinomio es una expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos:

  • Binomio: es un Polinomio que consta de dos términos.
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  • Trinomio: es un Polinomio que consta de tres términos
  • GRADO DE UN POLINOMIO

    El grado de un polinomio está determinado por el término de mayor grado absoluto

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    TALLER PARA IDENTIFICAR LAS CARACTERÍSTICAS DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS



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    OPERACIONES CON POLINOMIOS

    Los Polinomios pueden sumarse, restarse, multiplicarse, dividirse y elevarse a cualquier potencia real.

    Por ejemplo: una SUMA de polinomios puede expresarse como:

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    SUMA y RESTA DE POLINOMIOS

    1) Solo se pueden sumar o restar TÉRMINOS SEMEJANTES.

    2) La suma o resta de dos o más monomios semejantes es otro monomio semejante a los anteriores y que tiene por coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada monomio.

    3) Si no son semejantes se deja la operación indicada YA QUE NO SE PODRÁN SUMAR.

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    La suma de dos o más polinomios puede realizarse sumando sus términos semejantes. Esta operación puede hacerse en forma vertical o en horizontal o fila. Su representación sería como se presenta a continuación: P(x) + P(y)


    EJEMPLO: Sume los dos Polinomios siguientes

    Primero ordenemos en forma descendente el polinomio P(y), con relación a la variable y

    Como segundo paso, es conveniente disponer los polinomios en forma vertical de tal manera que coincidan los términos semejantes de ambos polinomios, así obtienes la siguiente presentación y podrás sumarlos más fácilmente:







    EJEMPLO: Resuelve la siguiente suma de polinomios utilizando el método horizontal:

    Para dar solución a este ejercicio, sigue los pasos que se describen a continuación:

    Agrupa términos semejantes utilizando las propiedades conmutativa y asociativa de la adición

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    Solución:

    Ahora podrás reducir términos semejantes, es decir, súmalos:

    Es tu respuesta

    OTRO EJEMPLO:

    Realizar la suma de polinomios indicada:

    Para dar solución a esta suma, debes proceder de igual manera que en el ejemplo anterior:










    Como último paso, debes ordenar el polinomio, esto lo haces teniendo en cuenta los exponentes de la variable x; entonces,ordena de mayor a menor (orden descendente), y te quedará así:

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    RESTA DE POLINOMIOS

    EJEMPLO1: Realizar la siguiente resta de monomios: 15x – 10x

    Para dar solución debes restar los coeficientes 15 -10, ya que estamos operando con términos semejantes; por lo tanto, tu respuesta será igual a 5x.

    Respuesta: 15x – 10x = 5x


    EJEMPLO2: realizar la siguiente resta de polinomios: P(x) – Q(x).

    . Para dar solución a esta resta observemos la siguiente disposición en forma horizontal

    Destruye el paréntesis aplicando la ley de signos:

    Operando con los términos semejantes, se obtiene:

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    EJEMPLO3: Realizar la siguiente resta de polinomios, utilizando la forma vertical:

    Para dar solución, observa de nuevo como el signo menos afecta el sustraendo:

    No olvides que para restar dos polinomios deben cambiarse todos los signos al sustraendo (ley de signos) y sumar algebraicamente.






    EJEMPLO 4: Realizar la siguiente resta utilizando el método horizontal:

    Para dar solución, no olvides escribir en forma horizontal los polinomios cuidando de cambiar el signo a los términos del sustraendo. Teniendo en cuenta el cambio de los signos, la operación se convierte en una suma de polinomios:

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    TALLER OPERACIONES (SUMA Y RESTA) DE POLINOMIOS



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    1. MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO MONOMIO

    Obtenido en:https://www.youtube.com/watch?v=hR1ppnkTEpk&ab_channel=Tutomate

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    Para multiplicar dos monomios entre sí se procede de la siguiente manera:

    1) Se multiplican los signos (Es decir, se aplica ley de signos)

    2) Se multiplican sus coeficientes.

    Cuando tenemos letras iguales o lo que es lo mismo, sus bases son iguales, se suman los exponentes.

    Ejemplo 1: 3x2 (-5x3y) = - 15 x2+3

    entonces, y = -15x5y

    Ejemplo 2:





    MULTIPLICACIÓN DE UNA CONSTANTE (POR UN NÚMERO REAL) POR UN POLINOMIO

    Al efectuar esta multiplicación, se utiliza la propiedad distributiva del producto, y el resultado es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio inicial y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por la constante.

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    MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

    Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación y las propiedades de potenciación, es decir se suman los exponentes de los términos semejantes, sin olvidar aplicar la ley de los signos.

    Ejemplo:

    Realizar la siguiente multiplicación de un monomio (11x3) por el polinomio 2x5 – 4x2 + 5x – 12

    El resultado de esta multiplicación es:

    MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

    Para multiplicar dos polinomios entre sí, se multiplica cada término del primer polinomio por todos y cada uno de los términos del segundo polinomio con sus correspondientes signos, es decir, se está utilizando nuevamente la propiedad

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    distributiva del producto lo mismo que las propiedades de la potenciación.

    Esta operación la podrás realizar de forma horizontal o vertical

















    MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS UTILIZANDO EL MÉTODO HORIZONTAL

    Ejemplo

    Efectuar la siguiente multiplicación del polinomio:

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    MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS UTILIZANDO EL MÉTODO VERTICAL

    Ejemplo

    Multiplicar los polinomios: P(x) =7 x3 - 5 x + 2 y Q(x) = 2 x2 + 5 x - 1

    Para realizar la multiplicación disponemos los polinomios de la siguiente forma, para multiplicar cada término, y luego sumar los términos semejantes:

    De l siguiente manera:

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    Otro ejemplo:

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    TALLER MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS



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    DIVISIÓN DE POLINOMIOS

    Obtenido en:https://www.youtube.com/watch?v=3xAoHpn7xLQ&ab_channel=YoTutor

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    DIVISIÓN DE MONOMIOS

    Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y para cada letra común en el dividendo y divisor se restan sus exponentes.

    Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones de monomios

    Note que el exponente de x en el numerador es menor que el exponente de x en el denominador, por lo tanto, al realizar la resta de éstos su diferencia es negativa e igual a -2; lo que significa que debemos representarlo como exponente positivo, por lo tanto, se podrá lograr llevándolo al denominador, según propiedades de los exponentes.


    Pasa la página para que recuerdes las porpiedades de los exponentes a tener en cuenta, en esta operación

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    Algunas propiedades de los exponentes para tener en cuenta

    DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

    En el caso de que el dividendo sea un polinomio y el divisor un monomio, se puede representar indicando la división de cada uno de los monomios del dividendo entre el monomio divisor.

    Ejemplo

    sigue

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    Observe que ya tiene tres divisiones de monomios, y su resultado es:





    Otro ejemplo:

    Realizar la siguiente división de un polinomio por un monomio:

    Para dar solución dividimos cada uno de los términos del polinomio del dividendo por el monomio 3x4y5, veamos:




    Realizando la división de monomios, obtenemos:

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    DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE OTRO POLINOMIO

    Para dividir dos polinomios siempre, el grado del dividendo debe ser mayor o igual al grado del divisor. Además, siempre deben estar ambos polinomios ordenados en forma descendente.

    En el caso de que falte algún término del divisor , debe dejarse su espacio o colocar un cero (0) para poder operar correctamente.

    Para que no te quede ninguna duda, estúdiate las siguientes reglas:

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    REGLAS PARA LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS

    1. El dividendo y el divisor se deben expresar en orden descendente con respecto a una misma letra.

    2. Procede luego a dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtendrás así el primer término del cociente.

    3. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.

    4. Para continuar se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente.

    5. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. Y así sucesivamente.

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    Debes recordar estos nombres y su ubicación:

    Ten presente la división con númerosa reales, esta es la base para dividir los polinomios.

    observa el signo menos, en la resta, esta misma es la que realizas cuando divides polinomios, solo que debbes aplicar la ley de los signos

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    Ejemplo: Realizar la siguiente división de polinomios:

    Para dar solución a esta división, realizaremos paso a paso las reglas enunciadas para esta división:

    1. El dividendo y el divisor se deben expresar en orden descendente con respecto a una misma letra.

    Observa que los polinomios ya están ordenados:

    Este es el dividendo:

    4x3 + 2x2 - 4x + 3

    Este es el divisor:

    2x2 - x + 1

    2. Ahora procede a dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtendrás así el primer término del cociente.

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    3. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de éste producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor, veamos:

    Ahora realizamos la resta:

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    4. Para continuar se divide el primer término del resto (4x2) entre el primer término del divisor (2x2) y tendremos el segundo término del cociente que es 2.

    5. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. Y así sucesivamente.

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    La respuesta a esta división se debe expresar de la siguiente forma

    PARA TENER EN CUENTA:

    Al igual que en una división normal , se puede comprobar que:

    dividendo = divisor por cociente + residuo

    Si los coeficientes del primer término del dividendo y del divisor no dan una división exacta debemos utilizar fracciones (algunas veces se usan decimales si no son periódicos).

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    Ejemplo

    Realizar la división:

    Realizando la división, tenemos:

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    Observa que cuando en el residuo queda la letra principal con un exponente de grado menor que la primera del divisor, se ha concluido la división.













    ejemplo: : Efectuar la siguiente división del polinomio P(x) entre Q(x)

    observe que el dividendo está ordenado de mayor a menor, pero, faltan términos consecutivos, por lo tanto, habrá que dejar el espacio correspondiente e este término, o colocar un cero. Veamos:

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    Realizando la división, obtenemos:

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    REGLA DE RUFFINI

    La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x ± a, donde a es cualquier numerito. Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”.




    Paolo Ruffini (1765-1822). Matemático y médico italiano. En el año 1799 publicó el libro “Teoría general de las ecuaciones”, en el cual aparece la regla que lleva su nombre.

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    REGLA DE RUFFINI

    Obtenido en:https://www.youtube.com/watch?v=j1itgC0sxrU

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    Para realizar una división por el método de Ruffini, seguimos los siguientes pasos:

    Dividir:

    1. Ordenar el polinomio (dividendo) de forma decreciente.

    2. Se escriben los coeficientes del dividendo (recuerde que si faltan términos se deben dejar los espacios o colocar los ceros como ya se estudió en la división):

    3. Ahora ya se puede preparar la tabla de Ruffini, como se verá a continuación:

    4. Bajamos el primer coeficiente (5 para este ejemplo).

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    Realizamos un proceso repetitivo, de izquierda a derecha, que consiste primero multiplicar el primer coeficiente (5) por el divisor (1), el resultado se coloca a la derecha del segundo coeficiente del dividendo.

    5. Ahora se suma esta segunda columna y este resultado nuevamente se multiplica por el divisor (1). Este procedimiento se repite hasta el último término del diivdendo.

    6. El último número obtenido es el residuo de la división, que en nuestro ejemplo es cero (0). Los anteriores a la izquierda del cero representan el cociente.

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    7. La respuesta para la división utilizando el método de Ruffini, se expresa de la siguiente manera: Se toman los valores correspondientes al cociente 5 2 4 - 3 y se les asigna la letra definida en el dividendo, pero empezando con un exponente disminuido en 1 respecto al dividendo: Que es tu respuesta para la división.









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    EJERCICIOS DIVISIÓN DE POLINOMIOS



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    BIBLIOGRAFÍA



    Swokovski, E., & Cole, J. (2008). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México: Thompson

    Stewart, James. (2012). Precálculo. México: Cengage Learning.

    DEMANA, Franklin y otros. Precálculo. Gráfico, numérico, algebraico. Séptima edición. México: Pearson Educación, 2007.

    URIBE CALAD, Julio Alberto. Matemáticas básicas y operativas. Medellín: Susaeta, 1986.

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