Curvas polares
Libro interactivo



CURVAS POLARES


JOHN JAIRO GARCÍA MORA


Grupo de investigación GNOMON

Línea Gestión del conocimiento y nuevas tecnologías aplicadas a la educación

Título de la obra:
CURVAS POLARES


Autores:
John Jairo García Mora



Diseño del libro: John Jairo García Mora
Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono
Fórmulas matemáticas: $\KaTeX$


DATOS DE LA EDICIÓN



LICENCIA

Creative Commons Attribution License 4.0.

Prefacio

Este documente pretende ayudar al estudiante de Cálculo integral de cualquier programa de ingeniería para que realice la representación de graficas de curvas polares mediante la transformación de coordenadas cartesians e interprete y describa el área encerrada por una o varias ecuaciones polares.

Algo de historia

Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del ángulo. También existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de las estrellas.

En el tratado Sobre las espirales, Arquímedes describe la llamada espiral de Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de un sistema de coordenadas como medio de localizar puntos en el plano, situación análoga al estado de la geometría antes de la invención de la geometría analítica.

En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto de coordenada polar a mediados del siglo XVII en la solución de problemas geométricos.

Saint-Vincent escribió sobre este tema en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión corregida en 1653.

Cavalieri utilizó en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parabólicos.

Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a sir Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares.

​En el periódico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base para encontrar el radio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas.

El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII.

El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral de Sylvestre François Lacroix,3​ mientras que Alexis Clairaut fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.





Capítulo I
El sistema de coordenadas

Sistema de coordenadas polares

Las coordenadas polares o sistema de coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia (denotada por r) y un ángulo (representado por la letra griega Theta).

El sistema de referencia polar toma:

  1. Un punto O del plano, al que se llama origen o polo;
  2. Una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

Representación de puntos en coordenadas polares

  • El punto $(7,60°)$ o su equivalente en radianes $(7,\frac {\pi}{3})$ implica que se encuentra a una distancia de 7 unidades del polo y que entre el punto, el polo y cualquier punto sobre el eje polar forma un ángulo de 60° o de $\frac {\pi}{3}$.
  • El punto $(10,225°)$ o su equivalente en radianes $(10,\frac {5\pi}{4})$ implica que se encuentra a una distancia de 10 unidades del polo y que entre el punto, el polo y cualquier punto sobre el eje polar forma un ángulo de 225° o de $\frac {5\pi}{4}$.

El plano polar

Figura 1.1 Plano polar en GeoGebra.

Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas polares.

Lo anterior se da por dos razones:

  1. Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto $(r, θ)$ se puede representar como $(r, θ ± n×360°)$ o como $(−r, θ ± (2n + 1)180°)$, donde $n$ es un número entero cualquiera.
  2. El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias $(0, θ)$ para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo $θ$, un punto con radio $0$ se encuentra siempre en el polo. Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar $r$ a números no negativos $r ≥ 0$ y $θ$ al intervalo $[0, 360°]$ o $[−180°, 180°]$ o su equivalente en radianes: $[0, 2π]$ o $[−π, π]$.

Desde el estudio de la circunferencia unitaria en el plano cartesiano sabemos que: $$\tag{1} Cos \thinspace \theta = x $$ $$\tag{2} Sen \thinspace \theta = y $$

Lo anterior nos permite expresar que cualquier punto A en esa circunferencia unitaria está dado por la pareja ordenada: $$\tag{3} A(Cos \thinspace \theta,Sen \thinspace \theta) $$

En figura 1.2 podemos establecer las relaciones existentes entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares:

Figura 1.2 Relación entre coordenadas polares y cartesianas.

Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo $\theta$ sobre el eje $x$, y su distancia $r$ al centro de coordenadas, tenemos que: $$\tag{4} x = r \thinspace Cos \thinspace \theta$$ $$\tag{5} y = r \thinspace Sen \thinspace \theta$$

Conversión de coordenadas rectangulares o cartesianas a coordenadas polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares $(x,y)$, se tiene que la coordenada polar $r$ es: $$\tag{6} r^2=x^2+y^2 \Longrightarrow r = \sqrt {x^2+y^2}$$

$$\tag{7} \theta = \arctan \Big (\frac {y}{x}\Big) $$

La parábola, definida como el conjunto de puntos cuya distancia hasta un punto llamado foco ubicado en el eje de simetría es igual a la distancia de ese punto a una recta perpendicular al eje de simetría (recta que recibe el nombre de directriz). En figura 1.3 podemos observar la parábola cuyo foco se encuentra el punto de coordenadas (a,0) y que tiene como ecuación cartesiana la expresión: $$\tag{8} y^2 = 4ax $$

En la gráfica el parámetro $a$ tiene valor 1:

Figura 1.3 Parábola $ y^2 = 4ax $.

Ahora expresaremos la ecuación $y^2=4ax$ en coordenadas polares empleando las ecuaciones 4 y 5, a continuación podemos observar su ecuación polar:

Con $a=1$ tendremos: $$y^2=4x$$ $$(r sen \thinspace{\theta})^2=4(r cos\thinspace{\theta}) \Longrightarrow r^2 sen^2 \thinspace{\theta}=4 \thinspace r \thinspace cos \thinspace{\theta}$$

Simplificando y despejando: $$r^2 \thinspace sen^2\thinspace {\theta}=4 \space r \space cos \space {\theta} \Longrightarrow r = \frac{4 \thinspace cos \thinspace{\theta}}{sen^2 \thinspace{\theta}}$$

Por lo tanto su representación polar es: $$\tag{9} \bigg ( \frac {4 \space Cos \space \theta}{Sen^2 \space \theta} ; \theta \bigg )$$

Determinar la expresión polar de la circunferencia que aparece en la gráfica:

Figura 1.4 Circunferencia $ (x-4)^2+(y-3)^2 = 9 $.

Debemos aplicar $\space x= r \space Cos \space (\theta)$ y $\space y= r \space Sen \space (\theta)$ $$(x-4)^2+(y-3)^2 = 9 $$ $$(r \space Cos \space (\theta) - 4)^2 + (r \space Sen \space (\theta)-3)^2 = 9 $$ $$r^2 cos^2(\theta)-8rCos(\theta)+16+r^2Sen^2(\theta)-6rSen(\theta)+9=9$$ $$r^2 cos^2(\theta)+r^2Sen^2(\theta)-8rCos(\theta)-6rSen(\theta)+16=0$$

Determinar la expresión rectángular que representa la ecuación polar que se presenta a continuación: $$r = \frac {5}{3 \space Cos \space (\theta)+ 8\space Sen \space (\theta)}=$$ $$r\space (3 \space Cos \space (\theta)+ 8\space Sen \space (\theta))=5$$ $$3\space (r \space Cos \space (\theta))+ 8\space (r \space Sen \space (\theta))=5$$ $$3\space x+ 8\space y= 5 \implies y = -\frac {3}{5} x + \frac {5}{8}$$

Determinar el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia $\space r^2=4\space r \space Cos \space (\theta)$ $$x^2+y^2=4\space x$$ $$x^2+y^2-4\space x=0$$

Completamos el trinomio cuadrado perfecto en $x$ $$x^2-4\space x+4+y^2=4$$ $$\bigg (x-2 \bigg )^2+y^2=4$$

Por lo tanto las coordenadas del centro $\space (2,0)$ y su radio $=2$

Determinar las coordenadas rectángulares de la ecuación polar: $$r\space Sen \bigg (\theta + \frac {\pi}{6} \bigg )=2$$

Solución

$$r\space \bigg ( Sen \space (\theta) \space Cos \space \bigg(\frac {\pi}{6} \bigg )+ Cos \space (\theta)\space Sen \space \bigg (\frac {\pi}{6} \bigg) \bigg ) = 2$$ $$r\space \bigg ( Sen \space (\theta) \space \bigg(\frac {\sqrt 3}{2} \bigg )+ Cos \space (\theta)\space \bigg (\frac {1}{2} \bigg) \bigg ) = 2$$ $$\bigg(\frac {\sqrt 3}{2} \bigg ) \space r \space Sen \space (\theta) + \bigg (\frac {1}{2} \bigg ) \space r \space Cos \space (\theta) = 2$$ $$\bigg(\frac {\sqrt 3}{2} \bigg ) y + \bigg (\frac {1}{2} \bigg ) x = 2 \implies \sqrt 3 \space y + x = 4$$ $$y= - \frac {1}{\sqrt 3} \space x + \frac {4}{\sqrt 3}\implies y=-\frac {\sqrt 3}{3}\space x + \frac {4\space \sqrt 3}{3}$$




Capítulo II
Gráficas de ecuaciones polares

Curvas polares y su representación

La gráfica de una ecuación polar $r = f(θ)$, o de manera más general $F (r, θ) = 0$, consiste de todos los puntos $P$ que tienen al menos una representación polar $(r, θ)$ cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

1. La línea recta polar

La gráfica está formada por todos los puntos $(r, θ)$ tales que el áńgulo al eje polar es constante, sin importar el valor de $r$ que es la distancia desde el polo al punto $P$ de coordenadas ($r,\theta$). Consideremos otro punto $Q$ de coordenadas $(k,\alpha)$ cuya distancia $k$ al polo es constante.

Figura 2.1 Recta polar.

A partir de la gráfica deducimos la ecuación de la recta que pasa por $P$ y por $Q$

En el triángulo rectángulo $POQ$ observamos que: $$\measuredangle O = \measuredangle \theta - \measuredangle \alpha$$

Por lo tanto: $$ \tag {1} Cos (\theta - \alpha) = \frac{k}{r} \thinspace \thinspace \therefore \thinspace \thinspace k = r \thinspace Cos \thinspace (\theta - \alpha)$$ $$k = r \thinspace (Cos \thinspace \theta \thinspace Cos \thinspace \alpha + Sen \thinspace \theta \thinspace Sen \thinspace \alpha)$$ $$k = r \thinspace Cos \thinspace \theta \thinspace Cos \thinspace \alpha + r \thinspace Sen \thinspace \theta \thinspace Sen \thinspace \alpha$$

De (1) obtenemos: $$r = \frac {k}{(Cos \thinspace \theta \thinspace Cos \thinspace \alpha + Sen \thinspace \theta \thinspace Sen \thinspace \alpha)}$$

Si $ \measuredangle \alpha = 0$, es decir con $Sen \thinspace 0 = 0$ y $Cos \thinspace 0 = 1$, tenemos: $$r = \frac {k}{(Cos \thinspace \theta \thinspace Cos \thinspace 0 + Sen \thinspace \theta \thinspace Sen \thinspace 0)} = \frac {k}{Cos \thinspace \theta}$$

Esto se traduce como la ecuación de una recta paralela al eje vertical y cuya ecuación cartesiana correspondiente es $\thinspace x = k$

Si $ \measuredangle \alpha = \frac {\pi}{2}$, es decir con $Sen \thinspace \frac {\pi}{2} = 1$ y $Cos \thinspace \frac {\pi}{2} = 0$, tenemos: $$r = \frac {k}{(Cos \thinspace \theta \thinspace Cos \thinspace \frac {\pi}{2} + Sen \thinspace \theta \thinspace Sen \thinspace \frac {\pi}{2})} = \frac {k}{Sen \thinspace \theta}$$

Esto se traduce como la ecuación de una recta paralela al eje vertical y cuya ecuación cartesiana correspondiente es $\thinspace y = k$

2. La circunferencia polar

Con centro en el polo, en el eje polar o en el eje $\frac{\pi}{2}$

Con centro $(h,k)$ fuera del polo, del eje polar o del eje $\frac{\pi}{2}$

Vamos a traducir a su equivalente polar la ecuación cartesiana de la circunferencia con centro en $(h, k)$ y con radio $b$: $$(x-h)^2+(y-k)^2 = b^2$$

3. Las cardiodes

Se denomina cardioide a la curva cuya ecuación polar es: $$r=a \pm b \thinspace Sen \thinspace \theta)$$ $$r=a \pm b \thinspace Cos \thinspace \theta)$$

Su gráfica se asemeja al dibujo de un corazón.

Se presentan tres casos que inciden en su representación:

  1. Cuando $|a| \thinspace > \thinspace |b|$
  2. Si $|a| \thinspace = \thinspace |b|$
  3. Cuando $|a| \thinspace < \thinspace |b|$

En la siguiente escena interactiva podemos observar las diferencias y características de los tres casos:

En la escena interactiva de la siguiente pagína dedicada a las Rutas cicloidales diseñada por Rita Jiménez Igea (año 2005) presentamos la construcción de la cicloide como una epicicloide.

Las epicicloides ordinarias son curvas que se generan por un punto $P$ de una circunferencia de radio $b$ al rotar exteriormente y sin deslizamiento sobre otra circunferencia de radio a. Estas se diferencian de la Hipocicloide donde la circunferencia que rota es interior a una circunferencia que permanece inmovil.

Un caso sencillo de epicicloide es aquel en que la relación de radios $n=a/b$ es un número entero. Dando una sola vuelta completamos la epicicloide y ésta tendrá $n$ cúspides o puntos de retroceso.





Capítulo III
Área entre curvas polares

En la figura podemos observar una región en forma de abanico de longitud $r$ entre el polo y la curva $r = f (\theta)$, esa gráfica corresponde al $dA$ que nos permite mediante integración obtener el valor de esa área. Aquí $ \alpha \le \theta \le \beta$

Figura 3.1_ Diferencial de área polar.

El área se obtiene mediante la integral: $$\tag{3.1} A = \frac {1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2\, d\theta$$

Calcular el área de la circunferencia $r = 15 \space Sen \space \theta$ $$A= \frac {1}{2} \int_{0}^{\pi} (15 \space Sen \theta )^2 \, d\theta = \frac {225}{2} \int_{0}^{\pi} Sen^2 \theta \, d\theta $$

$$\frac {225}{2} \int_{0}^{\pi} \frac {1 - Cos \space 2\theta}{2} \, d\theta =$$ $$\frac {225}{4} \bigg [\int_{0}^{\pi} d\theta - \int_{0}^{\pi} Cos \space 2\theta \, d\theta \bigg]=\frac {225}{4} \bigg [\theta \bigg |_{0}^{\pi} - \frac {Sen \space 2\theta}{2} \bigg|_{0}^{\pi} \bigg]=$$ $$\frac {225}{4} \bigg [\bigg (\pi - 0 \bigg ) - \bigg ( \frac {Sen \space 2 (\pi)}{2} - \frac {Sen \space 2 (0)}{2} \bigg ) \bigg]=$$ $$\frac {225}{4} \bigg [\bigg (\pi - 0 \bigg ) - \bigg ( \frac {Sen \space (\pi)}{2} - \frac {Sen \space (0)}{2} \bigg ) \bigg]=$$ $$\frac {225}{4} \bigg [\bigg (\pi - 0 \bigg ) - \bigg ( \frac {0}{2} - \frac {0}{2} \bigg ) \bigg]= \frac {225}{4} \bigg [\pi \bigg]= \frac {225 \space \pi}{4} \space U^2$$

Calcular el área de la cardiode $r = 4(1 + Cos \space \theta)$

Figura 3.2_ Área del cardioide.
$$A = 2 * \frac {1}{2} \int_{0}^{\pi} \bigg [4\space (1 + Cos \space \theta) \bigg ]^2 \, d\theta= \int_{0}^{\pi} \bigg [4\space (1 + Cos \space \theta) \bigg ]^2 \, d\theta$$ $$16 \space \int_{0}^{\pi}(1 + Cos \space \theta)^2 \, d\theta=16 \space \int_{0}^{\pi}(1 + 2 \space Cos \space \theta + Cos^2 \space \theta) \, d\theta=$$ $$16 \space \bigg [\int_{0}^{\pi}\, d\theta + 2 \space \int_{0}^{\pi} Cos \space \theta \, d\theta + \space \int_{0}^{\pi} Cos^2 \space \theta \, d\theta \bigg ]=$$ $$16 \space \bigg [\space \theta \bigg |_{0}^{\pi} + 2 \space \bigg (Sen \space \theta \bigg|_{0}^{\pi} \space \bigg ) + \frac {1}{2} \int_{0}^{\pi} \, d\theta + \frac {1}{2} \int_{0}^{\pi} \space Cos \space (2 \space \theta) \, d\theta \bigg ]=$$ $$16 \space \bigg [\space \theta \bigg |_{0}^{\pi} + 2 \space \bigg (Sen \space \theta \bigg|_{0}^{\pi} \space \bigg ) + \frac {1}{2} \bigg (\theta \bigg |_{0}^{\pi} \space \bigg ) + \frac {1}{4} \bigg ( \space Sen \space (2 \space \theta) \bigg ) \bigg |_{0}^{\pi}\bigg ]=$$ $$16 \space \bigg [\space \pi + 2 \space \bigg (Sen \space \pi \space \bigg ) + \frac {1}{2} \bigg (\pi \space \bigg ) + \frac {1}{4} \bigg ( \space Sen \space (2 \space \pi) \bigg ) \bigg ]=$$ $$16 \space \bigg [\space \pi + 2 \space \bigg (0 \bigg ) + \frac {1}{2} \bigg (\pi \space \bigg ) + \frac {1}{4} \bigg ( 0 \bigg ) \bigg ]=$$ $$16 \space \bigg [\space \frac {3 \space \pi}{2} \bigg ]= 24 \space \pi \space U^2$$

Área entre curvas polares

Calcular el área común a las curvas $r = 5 \space Cos \space \theta$ y $r = 5 \space Sen \space \theta$

El primer paso es determinar el ángulo $\theta$ donde se interceptan las ecuaciones:

$$5 \space Sen \space \theta = 5 \space Cos \space \theta \implies \frac {Sen \space \theta}{Cos \space \theta} = \frac {5}{5} \implies Tan \space \theta = 1 \implies \theta = \frac {\pi}{4}$$

Veamos ahora su gráfica realizada en GeoGebra, allí se resalta con color amarillo el área solicitada:

Figura 3.3_ Área común a dos circunferencias polares.

Según la imagen, existen dos porciones de área: una de ellas entre $\theta$ y la curva $5 \space Sen \space \theta$ y la otra entre $\theta$ y la curva $5 \space Cos \space \theta$, ello implica que solo evaluamos una de ellas y la duplicamos. Sin embargo he aquí las integrales para ambas áreas: $$A_1 = \frac {1}{2} \int_{0}^{\frac {\pi}{4}} (5 \space Cos \space \theta)^2 \, d\theta$$ $$A_2 = \frac {1}{2} \int_{\frac {\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} (5 \space Sen \space \theta)^2 \, d\theta$$

Procedamos entonces: $$2 \sdot \frac {1}{2} \int_{0}^{\frac {\pi}{4}} 25 \space \space Cos^2 \space \theta \, d\theta = 25 \int_{0}^{\frac {\pi}{4}} \space Cos^2 \space \theta \, d\theta=$$ $$ 25 \int_{0}^{\frac {\pi}{4}} \space Cos^2 \space \theta \, d\theta= 25 \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} \bigg [\space \frac {1 + Cos \space 2 \theta }{2} \bigg ]\, d\theta=$$ $$\frac {25}{2} \bigg [ \int_{0}^{\frac {\pi}{4}} \, d\theta + \int_{0}^{\frac {\pi}{4}} Cos \space 2 \theta \, d\theta \bigg ]=$$ $$\frac {25}{2} \bigg [ \theta \space \bigg |_{0}^{\frac {\pi}{4}} + \frac {1}{2} \bigg [Sen \space 2 \theta \bigg |_{0}^{\frac {\pi}{4}}\bigg ]= \frac {25}{2} \bigg [ \bigg (\frac {\pi}{4} \bigg )+ \frac {1}{2}\space \bigg ( Sen \space 2 \bigg (\frac {\pi}{4} \bigg ) \bigg )\bigg ]=$$ $$\frac {25}{2} \bigg [ \bigg (\frac {\pi}{4} \bigg )+ \frac {1}{2}\space \bigg ( 1 \bigg ) \bigg )\bigg ]= \bigg [ \frac {25 \space \pi}{8} + \frac {25}{4} \bigg ]\space U^2$$

Establecer el valor del área ubicada por fuera de la circunferencia $r = 3 \space Cos \space \theta$ y dentro de la cardiode cuya ecuación polar está dada por la expresión $r = 1 + Cos \space \theta$

Determinemos el valor de $\theta$, es decir la medida del ángulo donde se interceptan las dos ecuaciones: $$3 \space Cos \space \theta = 1 + Cos \space \theta \implies 1 = 3 \space Cos \space \theta - Cos \space \theta$$ $$1 = 3 \space Cos \space \theta - Cos \space \theta \implies 1 = 2 \space Cos \space \theta $$ $$ \frac {1}{2}= Cos \space \theta \implies \theta = \frac {\pi}{3} \space ∧ \space \theta = \frac {5 \space \pi}{3}$$

Figura 3.4_ Área común a una circunferencia y a una cardioide.
$$A= 2 \sdot \frac {1}{2} \bigg [ \int_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} \space (1 + Cos \space \theta )^2 \, d\theta - \int_{\frac {\pi}{3}}^{\frac {\pi}{2}} \space (3 \space Cos \space \theta )^2 \, d\theta \bigg ]=$$ $$\bigg [ \int_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} \space (1 + 2 \space Cos \space \theta + Cos^2 \space \theta) \, d\theta - 9 \space \int_{\frac {\pi}{3}}^{\frac {\pi}{2}} \space Cos^2 \space \theta \, d\theta \bigg ]=$$

Vamos a concentrarnos ahora en la primera integral: $$\bigg [ \int_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} \space (1 + 2 \space Cos \space \theta + Cos^2 \space \theta) \, d\theta \bigg ]=$$ $$\bigg [ \int_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} \space \, d\theta + 2 \int_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} Cos \space \theta \, d\theta + \int_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} Cos^2 \space \theta \, d\theta \bigg ]=$$ $$\bigg [ \int_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} \space \, d\theta + 2 \int_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} Cos \space \theta \, d\theta + \int_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} \bigg (\frac {1 + cos \space 2 \space \theta}{2} \bigg ) \, d\theta \bigg ]=$$

$$\bigg [ \int_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} \space \, d\theta + 2 \int_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} Cos \space \theta \, d\theta + \frac {1}{2} \int_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} \, d\theta + \frac {1}{2} \int_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} Cos \space 2 \space \theta \, d\theta \bigg ]=$$ $$\bigg [ \theta \space \bigg |_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} \space + 2 \bigg [ Sen \space \theta \bigg |_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} \space \bigg ] + \frac {1}{2} \bigg [\theta \bigg |_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} \space \bigg ] + \frac {1}{4} \bigg [ Sen \space 2 \space \theta \bigg |_{\frac {\pi}{3}}^{\pi} \bigg ]\bigg ]=$$ $$\bigg [ \frac {3}{2} \bigg [\pi - \frac {\pi}{3} \space \bigg ] + 2 \bigg [ Sen \space \pi - Sen \space \frac {\pi}{3} \bigg ] + \frac {1}{4} \bigg [ Sen \space 2 \space \pi - Sen \space 2 \space \bigg (\frac {\pi}{3} \bigg ) \bigg ]\bigg ]=$$ $$\bigg [ \frac {3}{2} \bigg [\frac {2 \space \pi}{3} \space \bigg ] + 2 \bigg [ 0 - \frac {\sqrt 3}{2} \bigg ] + \frac {1}{4} \bigg [ 0 - \frac {\sqrt 3}{2} \bigg ]\bigg ]=\bigg [ \pi \space - \frac {9 \space \sqrt 3}{8} \bigg ]$$

Vamos ahora a calcular el resultado de la segunda integral: $$ - 9 \bigg [ \space \int_{\frac {\pi}{3}}^{\frac {\pi}{2}} \space Cos^2 \space \theta \, d\theta \bigg ]= - 9 \bigg [ \space \int_{\frac {\pi}{3}}^{\frac {\pi}{2}} \space \bigg ( \frac {1 + Cos \space 2 \space \theta}{2} \bigg ) \, d\theta \bigg ]= $$ $$- \frac {9}{2} \bigg [ \space \int_{\frac {\pi}{3}}^{\frac {\pi}{2}} \space d\theta + \int_{\frac {\pi}{3}}^{\frac {\pi}{2}} Cos \space 2 \space \theta \, d\theta \bigg ]=- \frac {9}{2} \bigg [ \theta \space \bigg |_{\frac {\pi}{3}}^{\frac {\pi}{2}} \space + \frac {1}{2} \bigg (Sen \space 2 \space \theta \bigg |_{\frac {\pi}{3}}^{\frac {\pi}{2}} \space \bigg ) \bigg ]$$ $$- \frac {9}{2} \bigg [ \bigg (\frac {\pi}{2} - \frac {\pi}{3} \bigg ) + \frac {1}{2} \bigg (Sen \space 2 \space \bigg (\frac {\pi}{2} \bigg ) - Sen \space 2 \space \bigg (\frac {\pi}{3} \bigg ) \space \bigg ) \bigg ]=$$ $$- \frac {9}{2} \bigg [ \bigg (\frac {\pi}{6} \bigg ) + \frac {1}{2} \bigg (0 - \frac {\sqrt 3}{2} \bigg ) \space \bigg ]=- \frac {9}{2} \bigg [ \frac {\pi}{6} - \frac {\sqrt 3}{4} \space \bigg ]=$$ $$\bigg [- \frac {9 \space \pi}{12} + \frac {9 \space \sqrt 3}{8} \bigg ]$$ $$\bigg [ \pi \space - \frac {9 \space \sqrt 3}{8} \bigg ]+\bigg [- \frac {9 \space \pi}{12} + \frac {9 \space \sqrt 3}{8} \bigg ]= \frac {\pi}{4} \space U^2 $$

Establecer el valor del área ubicada por fuera de la circunferencia $r = 1 $ y dentro de la curva cuya ecuación polar está dada por la expresión $\space r^2 = 2 \space Cos \space 2 \theta$

Figura 3.5_ Área por fuera de una circunferencia.

Puntos de intercepción de las curvas: $$\sqrt { 2 \space cos \space 2 \space \theta}= 1 \implies (\sqrt {2 \space cos \space 2 \space \theta})^2 = (1)^2 \implies cos \space 2 \space \theta = \frac {1}{2}$$ $$2 \space \theta = Cos^{-1} \space (2 \space \theta) = \frac {\pi}{3} \implies \theta = \frac {\pi}{3} : 2 \implies \theta = \frac {\pi}{6}$$

Vamos a calcular el área resaltada del primer cuadrante y la multiplicaremos por 4:

$$A= 4 \space \bigg [ \frac {1}{2} \int_{0}^{\frac {\pi}{6}} 2 \space Cos \space (2 \space \theta)\, d\theta - \frac {1}{2} \int_{0}^{\frac {\pi}{6}}\, d\theta \bigg ]=$$ $$4 \space \bigg (\frac {1}{2} \bigg )\bigg [ \int_{0}^{\frac {\pi}{6}} 2 \space Cos \space (2 \space \theta)\, d\theta - \int_{0}^{\frac {\pi}{6}}\, d\theta \bigg ]=$$ $$2 \bigg [ 2 \bigg (\frac {1}{2} \bigg )\bigg ( Sen \space \space (2 \space \theta) \bigg )\space \bigg |_{0}^{\frac {\pi}{6}} - \theta \space \bigg |_{0}^{\frac {\pi}{6}} \space \bigg ]=$$ $$2 \bigg [ \bigg ( Sen \space \space (2 \space \theta) \bigg )\space \bigg |_{0}^{\frac {\pi}{6}} - \theta \space \bigg |_{0}^{\frac {\pi}{6}} \space \bigg ]=$$ $$2 \bigg [ \bigg ( Sen \space \space (2 \space \sdot \frac {\pi}{6}) - Sen \space \space (2 \space \sdot (0)\bigg ) - \bigg ({\frac {\pi}{6}} - 0 \bigg )\space \bigg ]=$$ $$2 \bigg [ \bigg ( \frac {\sqrt 3}{2} - 0 \bigg ) - \bigg ({\frac {\pi}{6}} - 0 \bigg )\space \bigg ]=\bigg (\sqrt 3 - \frac {\pi}{3} \bigg ) \space U^2 $$

Obtener el área común existente dentro de la circunferencia $r = 1 $ y fuera de la cardioide $\space r = 1 - Cos \space \theta$.

Esa área está determinada por la expresión, los límites de integración los podemos deducir de la gráfica de la página siguiente : $$A= 2 \space \int_{\alpha}^{\beta} \frac {1}{2} \bigg [ (1)^2 - \bigg ( 1 - Cos \space \theta \bigg )^2 \bigg] \, d\theta $$ $$A=2 \space \int_{\alpha}^{\beta} \frac {1}{2} \bigg [ 1 - \bigg ( 1 - 2 \space Cos \space \theta + \space Cos^2 \space \theta\bigg ) \bigg] \, d\theta $$

Figura 3.5_ Área por dentro de una circunferencia y fuera de cardioide.

Los límites de integración según la gráfica son: $\space \alpha = -\frac {\pi}{2} \space ; \space \beta = = \frac {\pi}{2} \space$, por lo tanto: $$2 \space \int_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \frac {1}{2} \bigg [ 1 - \bigg ( 1 - 2 \space Cos \space \theta + \space Cos^2 \space \theta\bigg ) \bigg] \, d\theta =$$ $$\int_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \bigg [ 2 \space Cos \space \theta - \space Cos^2 \space \theta \bigg] \, d\theta =$$ $$2 \space \int_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} Cos \space \theta \, d\theta - \int_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}}Cos^2 \space \theta \, d\theta =$$ $$2 \space \bigg [ Sen \space \theta \space \bigg |_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \bigg ]- \frac {1}{2} \int_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} (1 + Cos \space (2 \space \theta) \, d\theta =$$ $$2 \space \bigg [ Sen \space \theta \space \bigg |_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \bigg ]- \frac {1}{2} \int_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \, d\theta - \frac {1}{2} \int_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} Cos \space (2 \space \theta) \, d\theta =$$

$$2 \space \bigg [ Sen \space \theta \space \bigg |_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \bigg ]- \frac {1}{2} \bigg [\theta \bigg |_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \space \bigg ]- \frac {1}{4} \bigg [ Sen \space (2 \space \theta) \bigg |_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \bigg ] =$$ $$2 \space \bigg [ Sen \space \frac {\pi}{2} - Sen \space \frac {- \pi}{2}\space \bigg ]- \frac {1}{2} \bigg [\theta \bigg |_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \space \bigg ]- \frac {1}{4} \bigg [ Sen \space (2 \space \theta) \bigg |_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \bigg ] =$$ $$2 \space \bigg [ 1 - (-1) \bigg ]- \frac {1}{2} \bigg [\theta \bigg |_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \space \bigg ]- \frac {1}{4} \bigg [ Sen \space (2 \space \theta) \bigg |_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \bigg ] =$$ $$4 - \frac {1}{2} \bigg [ \frac {\pi}{2} - (-\frac {\pi}{2}) \bigg ]- \frac {1}{4} \bigg [ Sen \space (2 \space \theta) \bigg |_{- \frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \bigg ] =$$ $$4 - \frac {\pi}{2} - \frac {1}{4} \bigg [ Sen \space 2 \space (\frac {\pi}{2}) - Sen \space 2 \space (\frac {- \pi}{2}) \bigg ] =$$ $$4 - \frac {\pi}{2} - \frac {1}{4} \bigg [ Sen \space {\pi} - Sen \space (- \pi) \bigg ] =$$ $$4 - \frac {\pi}{2} - \frac {1}{4} \bigg [ 0 - 0 \bigg ] = \bigg [4 - \frac {\pi}{2} \bigg ] \space U^2$$

Obtener el área del riso interior de la curva $\space r = 1 + 2 \space Cos \space \theta $.

Vamos a obtener $\space \theta$ $$1 + 2 \space Cos \space \theta = 0 \implies 2 \space Cos \space \theta = -1 \implies Cos \space \theta = - \frac {1}{2} $$ $$\theta = \frac {2 \space \pi}{3} \implies \theta = \frac {4 \space \pi}{3} \space Por \space simetría \space$$

Figura 3.6_ Área del agujero de la curva $\space 1 + 2 \space Cos \space (\theta)$.

No existe una intercepción con otra curva, por ello los límites de integración correponden a las lineas tangentes tal como se puede observar en la gráfica y pueden ser comprobadas hallando su derivada y reemplazando en ella los valores de $\space \theta$.

Su área está dada por la expresión: $$A= \frac {1}{2} \space \int_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \space (1 + 2 \space Cos \space (\theta))^2 \, d\theta$$ $$\frac {1}{2} \space \int_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \space (1 + 4 \space Cos \space (\theta) + 4 \space Cos^2 \space (\theta)) \, d\theta$$ $$\frac {1}{2} \bigg [\space \int_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \, d\theta + 4 \space \int_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} Cos \space (\theta)\, d\theta + 4 \space \int_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}}Cos^2 \space (\theta)) \, d\theta \bigg ]$$

$$\frac {1}{2} \bigg [\theta \space \bigg |_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} + 4\space \bigg [Sen \space (\theta)\bigg |_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \bigg ] + 4 \space \bigg [\bigg [ \frac {\theta}{2} + \frac {Sen \space (2 \space \theta)}{2} \bigg ] \bigg |_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \bigg ]\bigg ]$$

Ahora evaluemos cada término independientemente: $$\frac {1}{2} \bigg [\bigg ( \frac {4 \space \pi}{3}-{\frac {2\space \pi}{3}} \bigg ) + 4 \space \bigg [Sen \space (\theta)\bigg |_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \bigg ] + 4 \space \bigg [ \bigg [ \frac {\theta}{2} + \frac {Sen \space (2 \space \theta)}{2} \bigg ]\bigg |_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \bigg ] \bigg ]\bigg ]$$ $$\frac {1}{2} \bigg [\frac {2\space \pi}{3} + 4 \space \bigg [Sen \space (\theta)\bigg |_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \bigg ] + 4 \space \bigg [ \bigg [ \frac {\theta}{2} + \frac {Sen \space (2 \space \theta)}{2} \bigg |_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {2\space \pi}{3}} \bigg ] \bigg ] \bigg ]$$ $$\frac {1}{2} \bigg [\frac {2\space \pi}{3} + 4 \space \bigg [Sen \space \frac {4 \space \pi}{3} - Sen \space \frac {2 \space \pi}{3} \bigg ] + 4 \space \bigg [\bigg [ \frac {\theta}{2}+ \frac {Sen \space (2 \space \theta)}{2} \bigg |_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \bigg ] \bigg ]\bigg ]$$ $$\frac {1}{2} \bigg [\frac {2\space \pi}{3} + 4 \space \bigg [- \frac {\sqrt 3}{2} - \frac {\sqrt 3}{2} \bigg ] + 4 \space \bigg [\bigg [ \frac {\theta}{2} + \frac {Sen \space (2 \space \theta)}{2} \bigg |_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \bigg ] \bigg ]\bigg ]$$ $$\frac {1}{2} \bigg [\frac {2\space \pi}{3} - 4 \space \sqrt {3} + 4 \space \bigg [\bigg [ \frac {\theta}{2} + \frac {Sen \space (2 \space \theta)}{2} \bigg |_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \bigg ] \bigg ]\bigg ]$$ $$\frac {1}{2} \bigg [\frac {2\space \pi}{3} - 4 \space \sqrt {3} + 4 \space \bigg [\frac {\theta}{2}|_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \bigg ]+ 4 \space \bigg [\frac {Sen \space (2 \space \theta)}{2} \bigg |_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \bigg ] \bigg ]$$ $$\frac {1}{2} \bigg [\frac {2\space \pi}{3} - 4 \space \sqrt {3} + 2 \space \bigg ( \frac {4 \space \pi}{3}-{\frac {2\space \pi}{3}} \bigg )+ 4 \space \bigg [\frac {Sen \space (2 \space \theta)}{2} \bigg |_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \bigg ] \bigg ]$$ $$\frac {1}{2} \bigg [\frac {2\space \pi}{3} - 4 \space \sqrt {3} + \frac {4 \space \pi}{3}+ 4 \space \bigg [\frac {Sen \space (2 \space \theta)}{2} \bigg |_{\frac {2 \space \pi}{3}}^{\frac {4\space \pi}{3}} \bigg ] \bigg ]$$

$$\frac {1}{2} \bigg [\frac {6\space \pi}{3} - 4 \space \sqrt {3} + 4 \space \bigg [ Sen \space \bigg (\frac {8 \space \pi}{3} \bigg ) - Sen \space \bigg (\frac {4 \space \pi}{3} \bigg )\bigg ] \bigg ]=$$ $$\frac {1}{2} \bigg [\frac {6\space \pi}{3} - 4 \space \sqrt {3} + 4 \space \bigg [ \frac {\sqrt 3}{4} - \bigg (-\frac {\sqrt 3}{4} \bigg ) \bigg ] \bigg ]=$$ $$\frac {1}{2} \bigg [\frac {6\space \pi}{3} - 4 \space \sqrt {3} + \space \bigg [ \sqrt 3 \bigg ] \bigg ]=$$ $$\frac {1}{2} \bigg [\frac {6\space \pi}{3} - 4 \space \sqrt {3} + \sqrt 3 \bigg ]= \bigg (\pi - \frac {3 \space \sqrt 3}{2} \bigg ) \space U^2$$

Determinar el valor del área interior a la curva $\space Sen \space (2 \space \theta)$

Figura 3.7_ Área de la rosa de 4 petálos $\space r= Sen \space (2\space \theta)$.

Solo se requiere calcular el valor del área de cualquiera de los cuadrantes y multiplicarla por 4. $$A=4 \space \bigg [\frac {1}{2} \space \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} (Sen \space (2 \space \theta))^2 \, d\theta \bigg ]=2\space \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} (Sen \space (2 \space \theta))^2 \, d\theta=$$ $$2\space \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} \bigg (\frac {1-Cos \space (4 \space \pi)}{2} \bigg )\, d\theta= \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} (1-Cos \space (4 \space \pi)) \, d\theta=$$ $$\int_{0}^{\frac {\pi}{2}} \, d\theta - \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} Cos \space (4 \space \pi) \, d\theta= \bigg [ \theta \space \bigg |_{0}^{\frac {\pi}{2}} - \frac {1}{4} \bigg [ Sen \space (4 \space \theta)\space \bigg |_{0}^{\frac {\pi}{2}}\bigg] \bigg]=$$ $$\bigg [\frac {\pi}{2}- 0 \bigg ]- \frac {1}{4} \bigg [Sen \space (2 \space \pi) -Sen \space (0) \bigg ] =\frac {\pi}{2} \space U^2$$

Determinar el valor del área entre $\space 2 \space Cos \space (3 \space \theta)$ y $\space r=1$ $$2 \space Cos \space (3 \space \theta)=1 \implies Cos \space (3 \space \theta)=\frac {1}{2}$$ $$(3\space \theta)= Cos^{-1} \space \bigg (\frac {1}{2} \bigg )= \frac {\pi}{3} \implies \theta = \frac {\pi}{9}$$

El área está dada por la expresión: $$3\space \bigg [\frac {1}{2} \int_{-\frac {\pi}{9}}^{\frac {\pi}{9}} 2 \space Cos \space (3 \space \theta)\, d\theta \bigg ]=3\space \bigg [\int_{-\frac {\pi}{9}}^{\frac {\pi}{9}} \space Cos \space (3 \space \theta)\, d\theta \bigg ]$$

Figura 3.8_ Área entre la rosa de 3 petálos $\space r=2\space Cos \space (3\space \theta)$ y $\space r=1$.
$$3\space \bigg [ \frac {1}{3} \bigg [ Sen \space (3 \space \theta) \bigg ] \bigg |_{- \frac {\pi}{9}}^{\frac {\pi}{9}} \bigg ]=\space \bigg [ Sen \space (3 \space \theta) \bigg ] \bigg |_{- \frac {\pi}{9}}^{\frac {\pi}{9}} \bigg ]=$$ $$\space \bigg [ Sen \space (\frac {\pi}{3}) - Sen \space (- \frac {\pi}{3}) \bigg ] =\bigg [ \frac {\sqrt 3}{2} - \bigg (- \frac {\sqrt 3}{2} \bigg) \bigg ]=\sqrt 3 \space U^2$$

Calcular el área común a la curva $\space r = 2 - 2\space Cos \space \theta $ y a la curva cuya ecuación es $\space r = 2+ Cos \space \theta$ $$2 - 2\space Cos =2+ Cos \space \theta \implies -2\space Cos \space \theta = Cos \space \theta \implies Cos \space \theta =0$$

Ello implica que $\space \theta = \frac {\pi}{2}$ y se interceptan en el punto $ \bigg (2, \frac {\pi}{2}\bigg)$

Figura 3.9_ Área entre cardioide y limacon.
$$A=2\space \bigg [\frac {1}{2} \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} (2-2\space Cos \space \theta)^2 \, d\theta + \frac {1}{2} \int_{\frac {\pi}{2}}^{\pi} (2+ Cos \space \theta)^2 \, d\theta \bigg]=$$ $$\int_{0}^{\frac {\pi}{2}} (4-8\space Cos \space \theta +\space Cos^2 \space \theta) \, d\theta + \int_{\frac {\pi}{2}}^{\pi} (4+ 4\space Cos \space \theta +Cos^2 \space \theta) \, d\theta =$$ $$4 \space \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} (1-2\space Cos \space \theta +\space Cos^2 \space \theta) \, d\theta + \int_{\frac {\pi}{2}}^{\pi} (4+ 4\space Cos \space \theta +Cos^2 \space \theta) \, d\theta =$$

Vamos a solucionar la primera integral: $$4 \space \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} (1-2\space Cos \space \theta +\space Cos^2 \space \theta) \, d\theta =$$ $$4 \space \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} \bigg (1-2\space Cos \space \theta +\space \frac {1}{2}+ \frac {Cos \space 2\theta}{2} \bigg ) \, d\theta =$$

$$4 \space \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} \bigg (\frac {3}{2}-2\space Cos \space \theta + \frac {Cos \space 2\theta}{2} \bigg ) \, d\theta =$$ $$4 \space \bigg [ \frac {3}{2} \space \theta - 2\space Sen \space \theta + \frac {Sen \space 2\theta}{4} \bigg ] \space \bigg |_{0}^{\frac {\pi}{2}}=$$ $$4 \space \bigg [\bigg [ \frac {3}{2}\bigg ( \frac {\pi}{2} \bigg )- \frac {3}{2}\bigg ( 0 \bigg ) \bigg ]- 2 \space \bigg [Sen \space \bigg (\frac {\pi}{2} \bigg )- Sen \space 0 \bigg ] +\bigg [\frac {Sen \space \pi - Sen \space 0}{4} \bigg] \bigg ]$$ $$4 \space \bigg [\bigg [\frac {3 \space \pi}{4} \bigg ]- 2 \space \bigg [1 \bigg ] +\bigg [\frac {0 - 0}{4} \bigg] \bigg ]=3\space \pi -8$$

La segunda integral: $$\int_{\frac {\pi}{2}}^{\pi} (4+ 4\space Cos \space \theta +Cos^2 \space \theta) \, d\theta =$$ $$\int_{\frac {\pi}{2}}^{\pi} \bigg (4+ 4\space Cos \space \theta + \frac {1}{2} + \frac {Cos \space 2 \space \theta}{2} \bigg ) \, d\theta =$$ $$\int_{\frac {\pi}{2}}^{\pi} \bigg (\frac {9}{2}+ 4\space Cos \space \theta + \frac {Cos \space 2 \space \theta}{2} \bigg ) \, d\theta =$$ $$\bigg [\frac {9}{2} \space \theta+ 4\space Sen \space \theta + \frac {Sen \space 2 \space \theta}{2} \bigg ] \bigg |_{\frac {\pi}{2}}^{\pi} =$$ $$\bigg [\bigg [\frac {9}{2} \bigg (\pi \bigg)- \frac {9}{2} \bigg (\frac {\pi}{2} \bigg) \bigg ]+ 4\space Sen \space \theta + \frac {Sen \space 2 \space \theta}{2} \bigg ] =$$ $$\bigg [\bigg [\frac {9 \space \pi}{4} \bigg ]+ 4\space Sen \space \theta + \frac {Sen \space 2 \space \theta}{2} \bigg ] =$$

$$\bigg [\bigg [\frac {9 \space \pi}{4} \bigg ]+ 4\space \bigg [Sen \space \pi - Sen \space \frac {\pi}{2} \bigg ]+ \frac {Sen \space 2 \space \theta}{2} \bigg ] =$$ $$\bigg [\bigg [\frac {9 \space \pi}{4} \bigg ]+ 4\space \bigg [0 - 1\bigg ]+ \frac {Sen \space 2 \space \theta}{2} \bigg ] =$$ $$\bigg [\frac {9 \space \pi}{4} - 4 + \frac {1}{2} \bigg [Sen \space (2 \space \pi) - Sen \space (\pi) \bigg ]\bigg ] =$$ $$\bigg [\frac {9 \space \pi}{4} - 4 + \frac {1}{2} \bigg [0 - 0 \bigg ]\bigg ] =\bigg [\frac {9 \space \pi}{4} - 4 \bigg ] $$

Ahora la suma de las dos integrales: $$\bigg [3\space \pi -8 \bigg ] +\bigg [\frac {9 \space \pi}{4} - 4 \bigg ] =\bigg [\frac {21 \space \pi}{4} - 12 \bigg ] \space U^2$$

Calcular el área sombreada al interior al Limacón $\space r= 4 + 2\space Cos \space (\theta)$ y exterior a $\space r=1$

Calcular el área sombreada al interior a la cardioide $\space r= 4(1 + Cos \space (\theta)$ y la circunferencia a $\space x^2+y^2=16$




Capítulo IV
Catálogo de curvas polares

Right Strophoid

$$\tag{4.1} r= a (Sec \thinspace \theta - 2 \thinspace Cos \thinspace \theta)$$
Figura 4.1_ Right Strophoid con $a=\frac {3}{2}$.

La curva Right Strophoid está definida como la curva creada a partir de una curva dada C y de dos puntos A y O. En el caso particular donde C es una recta, A pertenece a C, y O no pertenece a C, la curva se denomina una estrofoide oblicua.

La ecuación $4.1$ puede expresarse de forma paramétrica sustituyendo el parámetro r dentro de las ecuaciones $x = r \space Cos \space \theta$ y $y = r \space Sin \space\theta$. Ello se expresa entonces como: $$\tag{4.1.1} x=a \space (1 -2\space Cos^2 \space \theta)$$ $$\tag{4.1.2} y= a\space (tan \space \theta-2\space Sin \space \theta \space Cos \space \space \theta)$$

La ecuación cartesiana de la Right Strophoid es: $$\tag{4.1.3}y^2 \space(a-x)=x^2 \space (a+x)$$

En la siguiente escena podemos observar como la variación del parámetro $a$ incide en la gráfica de la curva:

Folium de Descartes

$$\tag{4.2}r (Sin^2 \thinspace \theta + Cos^3 \thinspace \theta)= 3 \thinspace a \thinspace Sin \thinspace \theta \thinspace Cos \thinspace \theta$$
Figura 4.2_ Folium of Descartes con $a=2$.

Se conoce como $folium \space de \space Descartes$ a la curva que describe la ecuación : $$\tag{4.2.1}x^3+y^3= 3 \space a \space x \space y$$ Y la ecuación parámetrica está dada por: $$\tag{4.2.2} x=\frac{3\space a \space t}{1+t^3} ; y=\frac{3 \space a \space t^2}{1+t^3} \space -\infty < t < \infty $$

De la gráfica $4.2$ podemos observar que la curva $Folium \space de \space Descartes$ tiene tres arcos:

  • Para $-1 < t < 0 $, el arco se encuentra localizado en el segundo cuadrante.
  • Si $t=0$ el arco corresponde al origen.
  • Para $t<-1$ el arco pertenece al cuarto cuadrante.

En la siguiente escena podemos observar como la variación del parámetro $a$ incide en la gráfica de la curva:

Serpentine de Newton

$$\tag{4.3}r^2 \thinspace Cos^2 \thinspace \theta = b^2 \thinspace Cot \thinspace \theta \thinspace - \thinspace a^2$$
Figura 4.3_ Serpentine of Newton con $a=2; b=4$.

Una curva nombrada y estudiada por Newton en 1701, es clasificada como curva cúbica. Los textos expresan que había sido estudiada anteriormente por L'Hospital y Huygens en 1692.

Su ecuación cartesiana está dada por la expresión: $$\tag{4.3.1}x^2\space y + a \space y - b^2 \space x=0$$

La geometría de la serpentine:

Intercepto $(0,0)$

Dominio $ -\infty < x < \infty $

rango: $$- \frac{b^2}{2 \space a}< y < \frac{b^2}{2 \space a}$$

Extremos: $$\bigg(\pm \space a, \space \pm \space \frac{b^2}{2 \space a} \bigg)$$

Simetría de la función impar: $(0,0)$

En la siguiente escena podemos observar como la variación del parámetro $a$ y del parámetro $b$ inciden en la gráfica de la curva:

Limacon de Pascal

$$\tag{4.4}r = 2 \thinspace a \thinspace Cos \thinspace \theta + b$$
Figura 4.4_ Limacon de Pascal con $a=4; b=10$.

El $limaçon \space de \space Pascal$, se define como una ruleta formada por el camino de un punto fijo a un círculo cuando ese círculo rueda alrededor del exterior de un círculo de igual radio. También se puede definir como la ruleta que se forma cuando un círculo gira alrededor de un círculo con la mitad de su radio para que el círculo más pequeño esté dentro del círculo más grande. Por lo tanto, pertenecen a la familia de curvas llamadas $trocoides centrados$; más específicamente, son $epitrocoides$. El cardioide es el caso especial en el que el punto que genera la ruleta se encuentra en el círculo rodante; la curva resultante tiene una cúspide.

Un limaçon es una curva algebraica bicircular de plano racional de grado 4.

La ecuación cartesiana del $limacon \space de \space Pascal$ $$\tag{4.4.1}(x^2+y^2-a \space x)^2=b^2 \space (x^2+y^2) $$

Ecuaciones parámetricas: $$\tag{4.4.2}\begin{cases} x=a \space Cos \space 2 \space \theta + b \space Cos \space \theta + a \\ y=a \space Sin \space 2 \space \theta + b \space Sin \space \theta \end{cases}$$

En la siguiente escena podemos observar como la variación del parámetro $a$ y del parámetro $b$ inciden en la gráfica de la curva:

Lemniscate de Bernoulli

$$\tag{4.5}r^2 = a^2 \thinspace Cos \thinspace 2 \thinspace \theta $$
Figura 4.5_ Lemniscate de Bernoulli con $a=2; a=3; a=4; a=5$.

También conocida como la $hyperbolic \space lemniscate$ se define como la inversa de una hiperbóla equilateral con respecto al origen.

Su ecuación cartesiana está definida por: $$(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$$

En el año 1694 Jakob Bernoulli la analizó como una modificación de una elipse, es una curva plana unicursal definida a partir de dos puntos dados $F_1$ y $F_2$, conocidos como focos, situados a una distancia de $2d$ entre sí, o sea el lugar geométrico de los puntos $P$ que cumplen que el producto de su distancia a los dos focos es constante y vale $2d$:

$$\tag{4.5.1}PF_1 · PF_2 = 2d$$

Las ecuaciones parámetricas de la $Lemniscate \space de \space Bernoulli$ son: $$\tag{4.5.2}\begin{cases} x= \space \frac {a \space Cos \space t}{1+Sin^2 \space t} \\ \\ y= \space \frac {a \space Sin \space t \space Cos \space t}{1+Sin^2 \space t} \end{cases}$$

En la siguiente escena podemos observar como la variación del parámetro $a$ incide en la gráfica de la curva:

Lemniscate de Gerono

$$\tag{4.6} r^2 = a^2 \thinspace Sec^4 \thinspace \theta \thinspace Cos \thinspace 2 \thinspace \theta $$
Figura 4.6_ Lemniscate de Gerono con $a=3; a=4; a=5; a=6$.

The $lemniscate \space de \space Gerono$ es el antihiperbolismo de un círculo con respecto a su centro y una tangente y debe su nombre al matemático Frances Camille-Christophe Gerono.

Sus ecuaciones cartesianas están dadas por las expresiones: $$\tag{4.6.1} x^4=a^2 \space (x^2-y^2)$$ $$\tag{4.6.2}a \space y=\pm \space x \space \sqrt{a^2-x^2}$$ $$\tag{4.6.3}2x=\pm \space \sqrt{a^2+2 \space a \space y} \space \pm \sqrt{a^2 - 2 \space a \space y}$$

También conocida como $lemniscata \space de \space Huygens$, es el conjunto de ceros del polinomio cuártico $y^2 − x^2 ( a^2 − x^2 )$, tal como lo expresa Basset (1901).

En la siguiente escena podemos observar como la variación del parámetro $a$ incide en la gráfica de la curva:

Bullet Nose

$$\tag{4.7} r^2 \thinspace Sen^2 \thinspace \theta \thinspace Cos^2 \theta = a^2 \thinspace Sen^2 \thinspace \theta \thinspace - \thinspace b^2 \thinspace Cos^2 \theta $$
Figura 4.7_ Bullet Nose con $a=2$ y $b=3$.

La curva $bullet \space nose$ es una curva $cuártica \space unicursal$ con tres puntos de inflexión, y está dada por las ecuaciones cartesianas: $$\tag{4.7.1}a^2 \space y^2-b^2 \space x^2=x^2 \space y^2$$ $$\tag{4.7.2} \frac{a^2}{x^2}-\frac{b^2}{y^2}=1$$

$$\tag{4.7.3}y= \pm \frac {b \space x}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

Se traza a través de los puntos de intersección de una tangente a la hipérbola $4.7.2$ con los ejes $x$ e $y$, se dibujan líneas paralelas a cada uno de los ejes.

En la siguiente escena podemos observar como la variación de los parámetros $a$ y $b$ inciden en la gráfica de la curva:

Piriform

$$\tag{4.8} b^2 \thinspace r^2 \thinspace Cos^4 \thinspace \theta \thinspace - \thinspace 2 \thinspace a \thinspace b^2 \thinspace r \thinspace Cos^3 \thinspace \theta \thinspace + \thinspace a^4 \thinspace Sen^2 \thinspace \theta = 0 $$
Figura 4.8_ Piriform con $a=2 \thinspace$; $a=3 \thinspace $;$a=4 \thinspace $;$a=5 \thinspace$; $a=6$ y $b=3$.

Su nombre se debe al matemático Francés Gaston Albert Gohierre de Longchamps quién perfeccionó los estudios de John Wallis del año 1685 y de Perre Ossian Bonet del año 1844.

su ecuación cartesiana está dada por la expresión: $$\tag{4.8.1}a^4 \space y^2 = b^2 \space x^3 (2 \space a-x) $$

Y su ecuación parámetrica es: $$\tag{4.8.2}$$ $$\begin{cases} x= \space a \space (1+ Sin \space t) \\ y= b \space Cos \space t \space (1+Sin \space t) \end{cases}$$

En la siguiente escena podemos observar como la variación del parámetro $a$ y del parámetro $b$ inciden en la gráfica de la curva:

Devil's curve

$$\tag{4.9}r^2 \thinspace (Sen^2 \thinspace \theta \thinspace - \thinspace Cos^2 \thinspace \theta \thinspace = \thinspace a^2 \thinspace Sen^2 \thinspace \theta \thinspace - \thinspace b^2 \thinspace Cos^2 \thinspace \theta $$
Figura 4.9_ Devil's curve.

En la figura podemos observar dos comportamientos diferentes para la misma ecuación polar:

  1. En la ecuación de color rojo $a=2$ y $b=\sqrt{7}$
  2. En la ecuación de color azul $a=3$ y $b=\sqrt{7}$

La curva del diablo es una curva definida en el plano cartesiano por una ecuación de la forma: $$\tag{4.9.1} y^2(y^2-a^2)= x^2(x^2-b^2)$$ $$y^4-a^2 \space y^2= x^4-b^2 \space x^2$$

Las curvas del diablo fueron estudiadas en gran medida por Gabriel Cramer, el mismo que en el año 1750 publicó la regla de Cramer , como fórmula general para la solución de cualquier sistema de ecuaciones lineales desconocido con solución única, en términos de determinantes implicados por el sistema.

En la siguiente escena podemos observar como la variación del parámetro $a$ y del parámetro $b$ inciden en la gráfica de la curva:

Horse fetter

$$\tag{4.10} r^2 \thinspace = 4 \thinspace b \thinspace (a - \thinspace b \thinspace Sen^2 \thinspace \theta )$$
Figura 4.10_ Horse fetter o Hippopede.

La grafica de la Hippopede fue realizada con $a = 1 \thinspace$; $a = 2 \thinspace$; $a = 3 \thinspace$; $a = 4 \thinspace$ y $b = 3$

Las Hippopedes se pueden definir como las curvas formadas por la intersección de un toroide y un plano, donde el plano es paralelo al eje del toroide y tangente a él en el círculo interior. Si un círculo con radio a gira alrededor de un eje a una distancia b desde su centro, entonces la ecuación del hippopede resultante en coordenadas cartesianas: $$\tag{4.10.1} (x^2+y^2)^2=a\space x^2+b \space y^2$$ $$\tag{4.10.2} (x^2+y^2)^2+ 4 \space b (b-a)(x^2+y^2)=4 \space b^2 \space x^2$$

En la siguiente escena podemos observar como la variación del parámetro $a$ y el parámetro $b$ inciden en la gráfica de la curva:





Bibliografía

Basset, A. B. (1901). The Lemniscate of Gerono, An elementary treatise on cubic and quartic curves, Deighton, Bell, pp. 171-172

Edwards, C.H. & Penney, D.E. (1994). Cálculo con geoemtría analítica. México: Prenyice Hall Hispanoamericana.

Larson, R.E.,Hostetler, R.P. & Edwards, B.H. (1995). Cálculo y geometría analítica. V2, 5 Ed. México: McGraw Hill.

Leithol, L. (1994). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México:OXFORD UNIVERSTY PRESS.

Rivera, J.G. & Navarro, J.M. (2018). Curvas y superficies paramétricas. Medellín: Fondo Editorial Pascual Bravo.

Stewart, J. (2007). Cálculo diferencial e integral. 2 Ed. México: Thomson.

Swokowski, E.W. (1979). Cálculo con geometría analítica.2 Ed, California: Wadsworth Internacional Iberoamerica.

Thomas, G.B. (2010). Cálculo una variable. 12 Ed. México: Addison Wesley.

Autor

John Jairo García Mora es profesor titular de la Facultad de Ingenierías del Instituto Tecnológico Metropolitano.

Con estudios superiores en:

  1. Tecnología Mecánica
  2. Licenciatura en Educación: Tecnología
  3. Especialización en Docencia Univeristaria
  4. Especialización en Gestión Energética Industrial
  5. Mestría en Educación y Desarrollo Humano

Catedrático en:

  1. Corporación Universitaria Lasallista
  2. Universidad San Buenaventura
  3. Institución Universitaria Colegio Mayor de Antioquia
  4. Corporación uNiversitaria Remington