ELECTRÓNICA DIGITAL

TOMO I INTERACTIVO

ELECTRÓNICA DIGITAL
LIBRO INTERACTIVO



Wilmar Moreno Silva

Margarita Patiño Jaramillo

John Jairo García Mora

Instituto Tecnológico Metropolitano

Medellín 2020

ELECTRÓNICA DIGITAL
Elementos conceptuales y prácticos

Wilmar Moreno Silva
Margarita Patiño Jaramillo
John Jairo García Mora
Volumen I: 2020



Diseño del libro: John Jairo García Mora
Diseño de cubierta: Margarita Patiño Jaramillo
Diseño de contenido: Wilmar Moreno Silva
Librería turn.js: Emmanuel García
Herramienta de edición: DescartesJS
Fuente: Amaranth

Fondo Editorial ITM
Calle 73 75A-354
PBX: (574) 440 51 00
Apartado 54959
Medellín, Colombia
www.itm.edu.co


Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual. Todos los objetos interactivos y los contenidos de esta obra colectiva están protegidos por la Ley de Propiedad Intelectual.




CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

1. SISTEMAS NUMÉRICOS5

1.1. Nuestro sistema decimal de numeración8

1.2. Sistema de numeración binaria10

1.3. Conversión de numeración decimal a binaria14

1.4. Sistema de numeración Octal y Hexadecimal16

1.5. Los sistemas de numeración y las unidades de memoria19

1.6. BIT20

1.7. NIBBLES21

1.8. BYTES21

1.9. WORDS22

1.10. El código ASCII y el BIT24

1.11. Operaciones aritméticas con números binarios enteros27

2. LÓGICA BINARIA37

2.1. Lógica matemática39

2.2. Formalización y valoración de proposiciones43

2.3. Conceptos básicos de la lógica44

2.4. Valor de verdad46

2.5. Proposición compuesta47

2.6. Variables de enunciado47

2.7. Conectivos lógicos48

2.8. Notación proposicional59

2.9. Valoración de las proposiciones62

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3. INFERENCIA LÓGICA69

3.1. Los sistemas deductivos71

3.2. La deducción72

3.3. La Premisa73

3.4. La inferencia lógica73

3.5. Reglas de inferencia73

3.6. Métodos de demostración112

4. TEORÍA DE CONJUNTOS119

4.1. Definiciones121

4.2. Diagramas de Venn y diagramas de Carrol127

4.3. Operaciones con conjuntos128

4.4. Lógica proposicional, la teoría de conjuntos y el álgebra booleana141

5. ÁLGEBRAS BOOLEANAS149

5.1. Látices o réticulas152

5.2. Álgebras Booleanas156

5.3. El Álgebra Booleana y los circuitos158

5.4. Compuerta lógica Y (AND)158

5.5. Compuerta lógica O (OR)159

5.6. Compuerta lógica NO (NOT)160

5.7. Formas estándar de las funciones lógicas161

5.8. Mapas de Karnaugh168

Bibliografía193

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Introducción

La importancia de la matemática en el contexto del desarrollo científico y tecnológico de la humanidad está determinada por la posibilidad de elaborar modelos matemáticos de los objetos estudiados por las diferentes ramas de la ciencia y la técnica, es decir, describir mediante el lenguaje vigoroso de la matemática las propiedades de los objetos reales, es en este punto donde la matemática discreta juega su papel importante.

La matemática discreta describe procesos que consisten en una secuencia de pasos individuales.Esto contrasta con el cálculo, que describe los procesos que cambian de forma continua. Mientras que las ideas del cálculo fueron fundamentales para la ciencia y la tecnología de la revolución industrial, las ideas de la matemática discreta son la base de la ciencia y la tecnología de la era de la computadora.

Los temas principales de un primer volumen de electrónica digital son las matemáticas discretas entre ellos la lógica y la demostración, la inducción y la recursión, las estructuras discretas, las combinaciones y la probabilidad discreta, los algoritmos y su análisis y las aplicaciones y el modelado.

Lógica y demostración Probablemente el objetivo más importante de un primer curso de matemáticas discretas es ayudar a los estudiantes a desarrollar la capacidad de pensamiento abstracto. Esto significa aprender a utilizar las formas válidas de argumentación lógica y evitar errores comunes de lógica, apreciando lo que significa a la razón las definiciones, a sabiendas de cómo utilizar los argumentos directos e indirectos para deducir nuevos resultados a partir de los conocidos como verdaderos y ser capaz de trabajar con representaciones simbólicas, como si fueran objetos concretos.

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Aquí examinaremos las técnicas empleadas en la lógica, definida como el estudio de los métodos de razonamiento que permiten definir su validez. El razonamiento lógico es útil para demostrar teoremas matemáticos de manera inductiva y recursiva. Un pensamiento recursivo simplica enfrentar un problema suponiendo que problemas similares más pequeños ya han sido resueltos y saber cómo colocar las soluciones en conjunto para resolver un problema mayor. Esta forma de pensamiento es ampliamente utilizada en el análisis de algoritmos

En este libro interactivo emplearemos la herramienta Descartes que se caracteriza por una innata interactividad, por permitir realizar representaciones de objetos bi y tridimensionales, por gestionar expresiones de texto y de fórmulas, por integrar objetos multimedia como imágenes, audios y vídeos, por tener la posibilidad de reflejar casos concretos y también potenciar la conceptualización de tareas y procedimientos mediante la utilización de semillas aleatorias y controles numéricos, gráficos y de texto, y con ellos poder abordar la evaluación de manera automática, tanto la correctiva como la formativa. Con Descartes es posible el diseño y desarrollo de objetos educativos que promueven el aprendizaje significativo, posibilitando esa deseada construcción del conocimiento.1

Todos los recursos incluidos en este libro se basan en el estándar HTML5 y consecuentemente son plenamente accesibles y operativos en cualquier ordenador, tableta o smartphone sin más que utilizar un navegador compatible con dicho estándar. Diseñar en HTML5, significa que usaremos:

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SISTEMAS NUMÉRICOS

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Sistemas numéricos

Antes de comenzar los sistemas numéricos es necesario hacer un breve recorrido histórico por la formación de los mismos, partiendo del sistema decimal hasta llegar al sistema binario, el octal y el hexadecimal.

Vídeo ¿Quién inventó los números?


Tomado de https://www.youtube.com/watch?v=2GzNRY2iYNg

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1.1. Nuestro sistema decimal de numeración

A través de la historia, son muchas las civilizaciones que han usado diferentes sistemas de numeración. Por ejemplo el sistema de numeración romano o el sexagesimal en la antigua Babilonia, quedan aún huellas en nuestra actual sociedad, pues todavía es posible ver años escritos como MCMLXIII o la hora como 15:45 vestigios de estos sistemas; y es que en el desarrollo de nuestra sociedad ha jugado un muy importante papel los sistemas de numeración, dentro de los muchos existentes a lo largo de la historia cabe mencionar el sistema decimal llamado también “sistema indo arábigo” y que surgió por la relación con nuestro cuerpo de contar con diez dedos en las manos y diez dedos en los pies. En este sistema existe una relación entre los 10 dígitos que lo constituye (0 al 9) y el mundo físico a saber, los signos del zodiaco, planetas, notas musicales, geometría, sustancias químicas, minerales etc. Relación inherente desde su surgimiento.

La nada y su representación dio nacimiento al número cero, avance que se produjo hace más de 1300 años, siendo la India su origen y permitiéndonos sin riesgo de error representar cualquier cantidad por grande o pequeña que sea.

Decimos que nuestro sistema de numeración es tanto posicional como decimal. Posicional puesto que el valor de una cifra depende del lugar que ocupa en el número: el primer 5 del número 515 no vale lo mismo que el segundo 5. El valor del segundo 5 es cinco unidades, pero el valor del primero es de 500 unidades. Y decimos que es decimal, porque diez unidades de un determinado orden equivalen a una unidad del orden superior. Así, diez unidades son una decena; diez decenas son una centena, diez centenas forman un millar, etc. Por ello, un número es igual a la suma de los productos de sus cifras por sus valores respectivos.

En la siguiente tabla se resume el sistema posicional de base 10, que nos permitirá expresar cualquier valor.

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Por ejemplo, el número 75269 se puede descomponer de la siguiente manera con potencias de 10:

De igual manera para números menores de la unidad se emplean las potencias negativas, por ejemplo el número 0.783 se escribe como:

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1.2. El sistema de numeración binaria

De la misma forma como nuestro sistema se llama decimal por poseer 10 dígitos, el sistema binario lleva su nombre por poseer sólo dos, el uno y el cero y es que esta dupla lleva milenios entre nosotros, Pero fue en el año 1703 que el gran matemático Gottfried Leibniz propuso la utilización del sistema binario para la realización de cálculos y operaciones de forma más sencilla y eficiente, y este lenguaje de unos y ceros es el que hablan las computadoras actuales e incluso lenguajes como el Braille o el código Morse son también códigos binarios.

En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.

La manera de cómo llegó este lenguaje a la informática actual tiene varios protagonistas entre ellos cabe destacar a George Boole que a mediados del siglo XIX planteó usar las técnicas empleadas en el álgebra para solucionar problemas que competían a la lógica proposicional la cual estudia los procesos mentales que usamos para llegar a conclusiones a través de premisas y ver si estos procesos son o no válidos y determinar si las conclusiones son verdaderas (representadas por un 1) o falsas (representadas por un 0). No obstante, estos procesos no se asociaron a los circuitos hasta un siglo después, es decir a mediados del siglo XX, cuando Claude Shannon relacionó esta lógica a los circuitos.

Entonces, primero fueron Leibniz y la aritmética, luego Boole y la lógica, y por último Claude Shannon y su idea de utilizar el álgebra de Boole o booleana para simplificar por ejemplo los circuitos, lo que les otorgó tanto poder a este par de números.

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En el sistema de numeración binario a cada uno de esos dos digitos se le denomina Bit. acrónimo de Binary digit

En matemáticas, una permutación es la variación del orden o posición de los elementos de un conjunto ordenado o una tupla y en el sistema binario 28 permutaciones tal como describimos en la siguiente tabla:

La tabla anterior es conocida como la representación de un sistema de 8 bits que, junto con los sistemas de 16, 32, 64 y 128 bits son la base de la arquitectura de las comunicaciones del mundo global de hoy. Esa representación nos será útil para conversión de numeros entre los sistemas decimal y binario.

Para los ejercicios que trabajaremos a continuación tendremos como regla general que: con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2n, números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir, 2n – 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16 números, porque 24 = 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 24-1 = 15.

Para convertir un número decimal a binario se hace mediante divisiones sucesivas por dos, colocando desde el último cociente hasta el primer residuo, siendo el último cociente el término más significativo y el primer residuo el término menos significativo, como se muestra en el ejemplo 1.

Para números menores de uno, se realiza la conversión haciendo multiplicaciones sucesivas por 2 y dejando siempre la parte decimal para la siguiente multiplicación por dos, esto se ilustra en el ejemplo 2.

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Ejemplo 1

Vamos a expresar el número 41 del sistema decimal en el sistema binario:

El resultado anterior se expresa como (iniciando con el valor más significativo):

4110  =  1010012


Ejemplo 2

Vamos a expresar el número 0.69 del sistema decimal en el sistema binario:

0.69d  =  0.101100b

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Del libro Métodos Numéricos Interactivo (ISBN: 978-958-58510-6-1) de Juan Guillermo Rivera y otros, veamos la siguiente escena interactiva:

Haz clic en el botón "Siguiente paso" para observar cómo se obtienen los dígitos binarios correspondientes al número decimal dado.



Ahora vamos a ilustrar el proceso inverso: expresar un número binario como un número de base decimal:

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1.3. Conversión de números binarios a decimales

Recordemos que el sistema binario es un sistema posicional y que el valor de la posición viene determinado por una potencia de 2.

Por lo tanto, si queremos convertir un número en base 2 (binario) al sistema decimal (base 10), no tenemos más que multiplicar el dígito (0 ó 1) por la potencia de 2 correspondiente a su posición.

Para realizar la conversión de binario a decimal sigue los siguientes pasos:

  1. Inicia por el lado derecho del número binario, cada cifra multiplícala por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 1, 2, ....).
  2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, súmalas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Así el número binario 11010 correspondería al número decimal 26, haciendo la conversión como sigue.

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En el recuadro escribe la respuesta y luego pulsa la tecla "Intro". Puedes realizar varios ejercicios.

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1.4. Sistema de numeración Octal y Hexadecimal

  • El sistema octal consta de 8 dígitos (0 al 7)
  • El sistema hexadecimal consta de 16 dígitos. 0 al 9 y las letras ABCDEF.

La relación especial de los sistemas octal y hexadecimal con el binario, surge de que 3 dígitos binarios representan exactamente 8 números diferentes.

Lo anterior implica que el sistema decimal es el traductor del sistema binario al sistema octal, para ello se requiere dividir el número binario dado en grupos de tres digitos de derecha a izquierda.

Vamos a expresar el número 10011111100 en el sistema octal.

NOTA: Si al ir separando de tres en tres faltarían dígitos se agregan ceros (marcados en azul).

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Si a diferencia del caso anterior un número binario dado se separan en grupos de 4 dígitos pueden representar exactamente 16 números diferentes en el sistema Hexadecimal.

Expresar el número número 10011011111100 en el sistema Hexadecimal

En la tabla de la siguiente página encontraremos una equivalencia entre estos sistemas enunciados

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Haz clic en la tabla para ampliarla

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1.5. Los sistemas de numeración y las unidades de memoria

Con el uso de las computadoras y sus distintas aplicaciones, han cobrado vigencia tres sistemas numéricos alternativos; éstos son el binario (base dos), el octal (base ocho), y el hexadecimal (base dieciséis). En la actualidad las computadoras y calculadoras utilizan el sistema binario para realizar sus cálculos internos, sistema adoptado ya que consta tan sólo de dos símbolos el 0 y el 1, los que se utilizan para representar todos los números.

El sistema octal se utiliza de forma muy extensa por programas que trabajan con códigos de computación internos. La Unidad central de procesamiento (CPU), con frecuencia utiliza el sistema hexadecimal para comunicarse con una impresora o cualquier otro dispositivo de salida.

El computador emplea BITS para comunicarse

Para entender el lenguaje de la computadora y su forma de contar, a partir de impulsos eléctricos por líneas de conducción, veamos primero el origen de nuestro sistema de numeración: puesto que nuestros antepasados usaban los 10 dedos de las manos para hacer las cuentas numéricas, se hizo popular el sistema numérico llamado decimal “de base 10”, representado por símbolos que van desde el 0 al 9. Reciben el nombre de “dígitos” por tener su origen en los “deditos”

Puesto que una computadora no tiene 10 dedos, ni su equivalente eléctrico, ya que funciona con circuitos digitales que conducen impulsos eléctricos formados por sólo dos niveles de voltaje (encendido, activado o alto (on) y apagado, inactivo o bajo (off)), no puede manejar directamente el sistema decimal nuestro. Es necesario adoptar para él un sistema de sólo dos dígitos el 0 y el 1, llamado binario (bi es un prefijo que significa dos).

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El 1 está representado, usualmente, por un pulso eléctrico activo, mientras que el 0 lo está por su ausencia o por un nivel bajo. En álgebra de Boole y el lógica proposicional el 0 equivale a falso y el 1 a verdadero. El “0” y el “1” son los dígitos empleados en un sistema binario.

1.6. El BIT

Bit es la abreviación de “binary digit”, o dígito binario, y representa el espacio “físico” que requiere un dígito binario, o bien la cantidad de información que se puede representar con un dígito binario. NOTA: Un bit no es sinónimo de “dígito”: Un bit contiene la información que responde una pregunta verdadero/falso. Un bit caracteriza el estado de una puerta lógica (cerrado/abierto). Un bit describe la conducción o no conducción de electricidad a través de un dispositivo electrónico (ejemplo, un transistor). Y un bit es más que suficiente para codificar la respuesta a la pregunta si el profesor le subirá la nota de matemáticas para la informática a cinco.

Una computadora hace internamente todas las operaciones en binario. Las letras que digitamos con el teclado y los caracteres que aparecen en la pantalla e impresora, son procesadas por un circuito “traductor” (codificador o decodificador) que las convierte a lenguaje binario y viceversa. Tal circuito busca las equivalencias en una tabla de filas y columnas que hace las veces de un diccionario para traducir palabras de un idioma a otro. Las tabla más utilizada actualmente es la ASCII (se pronuncia asqui).

La más pequeña cantidad de información en una computadora binaria es el bit, éste solamente es capaz de representar dos valores diferentes, sin embargo ésto no significa que exista una cantidad muy reducida de elementos representables por un bit, todo lo contrario, la cantidad de elementos que se pueden representar con un sólo bit es infinito, considere esto, podemos representar por ejemplo, cero ó uno, verdadero ó falso, encendido ó apagado, masculino ó femenino.

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Más aún, no estamos limitados a representar elementos antagónicos, un bit sencillo puede representar cualesquiera dos valores, por ejemplo, blanco ó 432, perro ó caliente. Y para ir aún más lejos, dos bits adyacentes pueden representar cosas completamente independientes entre sí, lo que se debe tener en cuenta es que un bit sencillo sólo puede representar dos cosas a la vez. Esta característica otorga a las computadoras binarias un campo infinito de aplicaciones. En cuanto a la posición, se define como bit menos significativo el bit de la derecha (posición 0), y el bit más significativo el de la extrema izquierda.

1.7. NIBBLES

Un nibble es una colección de cuatro bits, ésto no representaría una estructura interesante si no fuera por dos razones: El Código Binario Decimal (BCD por sus siglas en inglés) y los números hexadecimales. Se requieren cuatro bits para representar un sólo dígito BCD ó hexadecimal.

Con un nibble se pueden representar 16 valores diferentes, en el caso de los números hexadecimales, cuyos valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, y F son representados con cuatro bits. El BCD utiliza diez dígitos diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e igualmente se requiere de cuatro bits. De hecho se puede representar 16 elementos diferentes con un sólo nibble pero los dígitos hexadecimales y BCD son los principales representados por un nibble.

1.8. BYTES

Un bit es una unidad demasiado pequeña para cuantificar la información almacenada en memorias y discos duros. Por ello, se introdujo el concepto de “palabra” o byte como unidad de memoria más corriente en el ámbito de la computación y de las telecomunicaciones: un byte equivale a 8 bits = 8 dígitos binarios = 2 dígitos hexadecimales.

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Nuevamente, un byte está compuesto de ocho bits y es el elemento de dato más pequeño direccionable por un procesador 80x86, ésto significa que la cantidad de datos más pequeña a la que se puede tener acceso en un programa es un valor de ocho bits.

Los bits en un byte se enumeran del cero al siete de izquierda a derecha, el bit 0 es el bit de bajo orden ó el bit menos significativo mientras que el bit 7 es el bit de alto orden ó el bit más significativo. Nos referimos al resto de los bits por su número. Observe que un byte está compuesto de dos nibbles.

Como un byte contiene ocho bits, es posible representar 28, ó 256 valores diferentes. Generalmente utilizamos un byte para representar valores numéricos en el rango de 0 255, números con signo en el rango de -128 a +127, códigos de caracter ASCII y otros tipos de datos especiales que no requieran valores diferentes mayores que 256.

1.9. WORDS (PALABRAS)

Una palabra (Word) es un grupo de 16 bits enumerados de cero hasta quince, y al igual que el byte, el bit 0 es el bit de bajo orden en tanto que el número quince es el bit de alto orden. Una palabra contiene dos bytes, el de bajo orden que está compuesto por los bits 0 al 7, y el de alto orden en los bits 8 al 15.

Naturalmente, una palabra puede descomponerse en cuatro nibbles. Con 16 bits es posible representar 216 (65,536) valores diferentes, éstos podrían ser el rengo comprendido entre 0 y 65,535, ó como suele ser el caso, de -32,768 hasta +32,767. También puede ser cualquier tipo de datos no superior a 65,536 valores diferentes.

Las computadoras personales con el sistema operativo MS DOS utilizaban palabras de 16 BITS. Los sistemas operativos actuales, los 32 y 64 bits se refieren al tipo de unidad central de proceso o CPU, al sistema operativo, los drivers y el software. Todos ellos utilizan una misma arquitectura.

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De esta manera todos los componentes hablan "el mismo idioma", y pueden funcionar correctamente los únicos con los otros.

La siguiente tabla muestra como se forman un bit, un nibble, el byte y el Word.

Finalmente, para cuantificar toda la información contenida en archivos de texto, imágenes, sonido, y en general información digital almacenada en computadoras, y evidentemente representadas en binario, se utilizan una serie de múltiplos del bit que poseen nombre propio; algunos definidos en párrafos anteriores, éstos son los siguientes:

  1. NIBBLE O CUARTETO: Es el conjunto de cuatro bits.
  2. BYTE U OCTETO: Es el conjunto de ocho bits ( 10101010)
  3. KILOBYTE (Kb): Es el conjunto de 1024 bytes (1024  8 bits).
  4. MEGABYTE (Mb): es el conjunto de 1024 kilobytes (10242  8 bits).
  5. TERABYTE (Tb): Es el conjunto de 1024 gigabytes (10244  8 bits).

La razón por la que se utiliza el factor multiplicador 1024 en lugar de 100, como sucede en otras magnitudes físicas, es por ser el múltiplo de 2 más próximo a 1000.

210 = 1024

La tabla siguiente muestra las equivalencias entre los múltiplos del bit.

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El byte u octeto es considerado como la unidad básica de medida de la información representada mediante este sistema.

La manera más fácil para entender a los bits es comparándolos con algo que se conoce: los dígitos. Un dígito es simplemente un lugar que puede tener valores numéricos entre 0 y 9. Los dígitos son combinados normalmente en grupos para crear números más grandes. Por ejemplo, 6357 tiene 4 dígitos Y ESTÁ REPRESENTADO EN EL SISTEMA POSICIONAL DECIMAL.

1.10. El código ASCII y el BIT

Acrónimo inglés de American Standard Code for Information Interchange —Código Estándar Estadounidense para el Intercambio de Información—, pronunciado generalmente [áski]1​:6 o (rara vez) [ásθi], es un código de caracteres basado en el alfabeto latino, tal como se usa en inglés moderno. Fue creado en 1963 por el Comité Estadounidense de Estándares (ASA, conocido desde 1969 como el Instituto Estadounidense de Estándares Nacionales, o ANSI) como una refundición o evolución de los conjuntos de códigos utilizados entonces en telegrafía.

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Más tarde, en 1967, se incluyeron las minúsculas, y se redefinieron algunos códigos de control para formar el código conocido como US-ASCII.

El código ASCII utiliza 7 bits para representar los caracteres, aunque inicialmente empleaba un bit adicional (bit de paridad) que se usaba para detectar errores en la transmisión. A menudo se llama incorrectamente ASCII a varios códigos de caracteres de 8 bits que extienden el ASCII con caracteres propios de idiomas distintos al inglés, como el estándar ISO/IEC 8859-1.1​

El juego de caracteres ASCII está dividido en cuatro grupos de 32 caracteres. Los primeros 32 caracteres, del código ASCII 0 hasta el ASCII 1Fh16 (3110) forman un juego especial de caracteres no imprimibles llamados caracteres de control ya que ejecutan varias operaciones de despliegue/impresión en lugar de mostrar símbolos, ejemplo de éstos son el retorno de carro que posiciona el llamado cursor al lado izquierdo de la actual línea de caracteres, avance de línea que mueve hacia abajo el llamado cursor una línea en el dispositivo de salida.

El segundo grupo de caracteres comprende varios símbolos de puntuación, caracteres especiales y dígitos numéricos, los caracteres mas notables de éste grupo son el carácter de espacio (código ASCII 20h) y los dígitos numéricos (códigos ASCII 30h al 39h). Observe que los dígitos numéricos difieren de sus respectivos valores sólo en el nibble de alto orden, restando 30h de un código numérico ASCII dado se obtiene el equivalente numérico.

El tercer grupo de caracteres ASCII está reservado a las letras mayúsculas. Los códigos ASCII para los caracteres "A" a la "Z" están en el rango comprendido entre 41h y 5Ah (65 al 90 decimal. Como éstos caracteres están definidos de acuerdo al alfabeto utilizado en el idioma inglés solo hay 26 diferentes caracteres alfabéticos utilizando los seis códigos restantes para varios símbolos especiales.

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El cuarto y último grupo de caracteres ASCII está reservado a las letras minúsculas, cinco símbolos especiales adicionales y otro carácter de control (borrar). Los caracteres ASCII para las letras minúsculas utilizan los códigos 61h al 7Ah. Si Usted convierte a binario los códigos correspondientes a las letras mayúsculas y minúsculas observará que los símbolos para las mayúsculas difieren de sus respectivas minúsculas en una posición de bit. Las letras mayúsculas siempre contienen un cero en la posición cinco en tanto que las letras minúsculas contienen un uno en la misma posición, es posible utilizar éste hecho para convertir de mayúsculas a minúsculas y viceversa. De acuerdo con lo ya expuesto podemos afirmar que los bits de posición seis y cinco determinan qué caracteres ASCII estamos utilizando de acuerdo a la siguiente tabla:

En el código estándar ASCII el bit de posición siete siempre es cero, esto significa que el juego de caracteres ASCII consume la mitad de la capacidad de representación de un byte. La tabla siguiente muestra los 127 códigos ASCII estándar. Las computadoras almacenan el texto, tanto en disco como en memoria, usando esos códigos. Por ejemplo, si usa el Block de notas de Windows 95 para crear un documento de texto que contenga las palabras, "Hace 47 años", el Block de notas solo usará un byte de memoria por carácter. Cuando el Block de notas almacena la frase en un archivo en el disco, el archivo tendrá un byte por carácter. Pruebe este experimento: comience un documento nuevo en el Block de notas y escriba la frase "hace 47 años". Guárdelo con el nombre de prueba.txt, por ejemplo. Ahora use el explorador y mire el tamaño del archivo. Verá que tiene un tamaño de 12 bytes: uno por cada caracter. Si añade otra palabra y lo guarda otra vez, el tamaño del archivo será del número apropiado de bytes. Cada caracter consume un byte.

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1.11. Operaciones aritméticas con números binarios enteros

SUMA

Precisamente como sumamos dos números en el sistema decimal. No obstante, la operación es mucho más sencilla por que nunca usamos un entero mayor que uno sin olvidar que la suma (la adición)es conmutativa.

Existen cuatro posibles combinaciones en la suma de binarios:

Vamos a sumar los números 7 y 3 del sistema decimal como la suma de números binarios, comprobaremos que 1010 = 10102:

El primer paso es sumar los valores del extremo derecho y según la tabla descrita me dice que el resultado es 1 y 0. Aquí coloco el 0 y acarreo el 1

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El segundo paso es sumar el 1 que se acarreó con los dos 1 que se encuentra debajo de ese número acarreado y proceder de la misma manera: como el resultado es 1 y 0, a este último le sumamos 1 y el resultado es 0 y acarreo el 1

Un tercer paso es es sumar el 1 acarreado con el 1 que se encuentra debajo de este, pasa exactamente lo mismo que en lo dos pasos anteriores: el resultado es 1 y 0 tomando este cero.

El cuarto paso es sumar el 1 acarreado con todo lo que se encuentre debajo del mismo, como no existe tal número el resultado es 1. En el siguiente vídeo puedes aclara mejor el proceso (Tomado de https://www.youtube.com/watch?v=Zxf9Df8HZA0):

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SUSTRACCIÓN O RESTA

Para restar dos números, se debe tener en cuenta que ésta no es conmutativa y por tanto, se deben distinguir los elementos de la operación:

Si en el sistema binario, si restamos cero de cero ( 0 – 0), su diferencia es cero.

Si restamos 1 de 1 : 1 – 1 = 0.

Ahora restar 0 de 1: 1 – 0 = 1

Hasta aquí la sustración usando números binarios ha sido igual que cuando se realiza con números decimales. ¿Se aplica el mismo principio cuando restamos 1 de 0?

Sí, la operación es posible si podemos, en efecto, “PEDIR PRESTADO” un uno del dígito en el siguiente lugar de la izquierda ( en el minuendo); así que, en la sustración siermpre debemos difrenciar los elementos que imtervienen en la operación, el minuendo y el sustraendo y su resultado diferencia.

La resta no es otra cosa que sumar el negativo del número que se desea restar. Ejemplo: 5-2 = 5 + (-2). El negativo se define de forma tal que un número y su negativo suman cero Ejemplo: 5 + (-5) = 0.

La forma que nosotros usamos tradicionalmente para designar un negativo es anteponiendo a la magnitud del número un símbolo propio antes del número: una rayita horizontal a media altura, el “signo menos”.

PARA RESTAR es muy común utilizar lo que llamamos complemento, que puede ser complemento a uno y complemento a dos.

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COMPLEMENTO A 1 O COMPLEMENTO DE LOS UNOS (CA1): Podemos encontrar el complemento de los unos de un número binario mediante un artificio sencillo: simplemente cambiamos cada dígito 0 con un 1, cada 1 con un 0.

COMPLEMENTO A DOS (CA2): El complemento a dos de un número binario se halla tomando el complemento a 1 y sumando una unidad al bit menos significativo, es decir, al bit ubicado en la extrema derecha. Este complemento es el sistema más empleado para representar números binarios con signo

Dado que los números sólo pueden ser positivos o negativos (2 estados) , una forma de codificar un número negativo es reservar el bit más significativo (el de la extrema izquierda) para la información de signo, colocando un “1” en los números negativos y un “0” en los números positivos, el complemento a dos de un número con signo cambiará un número positivo por un negativo y viceversa, es decir, que el complemento a dos cambia la polaridad del número.

Ejemplo:

Sin embargo, no se cumple con la regla que

Y, por ende, con esta notación la resta no equivale a la suma del negativo. Por ejemplo,

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Además, dado que un bit contiene la información del signo, sólo quedan 7 bits para información de magnitud.

CÓMO USAR EL MÉTODO DEL COMPLEMENTO DE LOS UNOS EN OPERACIONES DE SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS BINARIOS

Recordemos que en la sustracción, el número del cual se debe tomar una cantidad se llama minuendo y la cantidad que se debe restar se llama sustraendo; así si vamos a restar 15 de 25, 15 recibe el nombre de sustraendo y 23 es el minuendo.

Es necesario tener en cuenta además, que la sustracción en las computadoras se lleva a cabo como una especie de adición binaria. Antes de efectuarse la adición, el sustraendo de la sustracción indicada se transforma en otra expresión, aquella que corresponde al complemento de los unos

DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN DE SUSTRACIÓN CON EL USO DEL COMPLEMENTO DE LOS UNOS.

La sustracción mediante el complemento de los unos es sencilla. Expresamos el sustraendo (número que debe restarse) en la forma de su complemento de los unos, después se suman los dos números.

Si la suma contiene un dígito más que los dígitos que se suman, es decir, si el numero que expresa el resultado de la suma se extiende un lugar extra hacia la izquierda, lo acarreamos alrededor y lo sumamos al primer dígito de la derecha.

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Representar el método del complemento de los unos para efectuar la siguiente resta: 1210 – 810

NOTA: NO todas las operaciones de sustracción, aplicando el método del complemento de los unos conducen a un traslado alrededor, cuando la diferencia es una cantidad negativa NO hay dígito extra.

Por lo tanto, si no se tiene un dígito extra para realizar el traslado alrededor, aplicamos una regla diferente: Volvemos a complementar la respuesta y le asociamos un signo menos, veamos:

Recordemos que el complemento a dos se usa para representar números binarios con signo, pues este método permite transformar las restas en sumas.

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Restar utilizando el complemento a dos

MULTIPLICACIÓN

Se realiza de la misma forma que la multiplicación decimal, esta operación aritmética es asociativa, conmutativa y distributiva con respecto a la suma

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Es importante considerar para la multiplicación la siguiente tabla de multiplicar binaria.

DIVISIÓN

Se realiza de la misma forma que la división decimal, con sus elementos dividendo y divisor pero tomando en cuenta las tablas de multiplicar en binario.

Resumen de operaciones con binarios

Tomado de https://www.youtube.com/watch?v=-undrB8y6hk

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LÓGICA BINARIA

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LÓGICA MATEMÁTICA

2.1. Lógica Matemática

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. El razonamiento lógico es utilizado en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar el funcionamiento de los algoritmos de progamación; en las ciencias físicas y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

Variable Lógica:

Es una variable que tiene tres propiedades distintas:

  1. La variable lógica puede adoptar uno u otro de solo dos valores posibles.
  2. Los valores se expresan por sentencias declarativas.
  3. Los dos valores expresados para las sentencias declarativas, deben ser tales que, basadas en la lógica sean ‘’mutuamente exclusivo’’.

Excluimos la posibilidad que la variable tome otro valor diferente a los definidos.

Como una variable excluye a la otra, podemos expresarla negando la primera.

Valores de una Variable Lógica:

Una variable lógica puede expresar cualquier cosa.

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A los dos posibles nombres de nuestra variable lógica le asignaremos el valor de Falso (False) y Verdadero (True).

Función de una Variable lógica:

Todas las funciones posibles Z = F(A) de una variable lógica son:

Estamos familiarizados con el concepto de Variable y con el concepto de Función de una Variable.

Ejemplo: Y= 5x + 3

Cuando los valores de X son limitados podemos usar una tabla para representar la función.

Observemos el siguiente ejemplo:

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¿Por qué estudiar lógica?

La lógica es una herramienta importante para todo tipo de conocimiento y de actividad racional, pero también para la vida cotidiana (donde, de hecho, la usamos de manera inadvertida). En palabras de Ricardo Guibourg:

"Quejarnos porque la cuenta del restaurante es alta no nos dará ningún resultado: no lograremos convencer al mozo y pasaremos por mezquinos. Pero si encontramos algún error en la suma provocaremos una consulta y obtendremos, junto con la encomienda, las correspondientes excusas: tal es el poder de la aritmética, que ni los comerciantes se atreven contra ella. Y la aritmética no es una Invención diabólica, ni el arma secreta de la administración impositiva: es, simplemente, un sistema teórico que reconstruye, en abstracto, las relaciones que todos aceptamos entre las cantidades concretas. Dos más dos es igual a cuatro en cualquier tiempo y lugar, se trate de dólares, camellos o vueltas en calesita; y el conjunto de las relaciones de este tipo, reunidas en una teoría matemática universalmente admitida, nos permite verificar formalmente la exactitud de cualquier calculo. Lo mismo ocurre con la lógica. Si alguien nos endilga un largo discurso sobre un tema que ignoramos, nos será difícil formarnos una idea sobre la verdad o falsedad de cada una de sus afirmaciones; pero si entre ellas hay dos que resulten contradictorias entre sí, no necesitaremos averiguar más para saber que en esa cháchara hay algo que no funciona bien. Al razonar de este modo habremos utilizado un sistema teórico - la lógica- que recopila, generaliza, abstrae y reconstruye en formulas las relaciones aceptables entre las proposiciones, aun con total prescindencia de su contenido: es decir, de modo completamente formal".

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Y, en palabras de Lewis Carroll1:

"Domine usted la maquinaria de la lógica simbólica y tendrá siempre a mano una ocupación intelectual que absorberá su interés y que será de una efectiva utilidad en cualquier tema del que pueda ocuparse. Ello le proporcionara la claridad de pensamiento y la habilidad para encontrar el camino en medio de la confusión, el hábito de disponer sus ideas de una forma metódica y ordenada y -lo cual vale más que todo eso- el poder de detectar falacias y despedazar los argumentos insustancialmente ilógicos que encontrara de continuo en los libros, en los periódicos, en los discursos e incluso en los sermones, y que con tanta facilidad engañan a los que nunca se han tomado la molestia de aprender este arte fascinante." (El juego de la lógica) (González Lagier, s.f)

DEFINICIÓN DE LÓGICA

Es una ciencia formal porque sus objetos de conocimiento son las formas o estructuras que adopta el pensamiento. Es una ciencia ideal porque se ocupa de conceptos, juicios y raciocinios que son entes ideales y que constituyen el pensamiento de una persona al hacer la interpretación de su entorno real. La parte de la lógica que se ocupa de la corrección o validez del pensamiento se llama lógica o dialéctica. La parte de la lógica que se ocupa de la verdad del pensamiento se llama lógica material. (Barco Gómez, 2004 Pág 33)

Según el diccionario de la Real Academia Española es la "Ciencia que expone las leyes, modos y formas de las proposiciones en relación con su verdad o falsedad"

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2.2. Formalización y valoración de proposiciones

FUNCIONES DEL LENGUAJE

  1. FUNCIÓN EXPRESIVA

Cuando se usa el lenguaje para comunicar sentimientos, valores, actitudes y emociones. El lenguaje sirve a la función expresiva siempre que se usa para expresar o inducir sentimientos o emociones. Ejemplos:

  1. FUNCIÓN APELATIVA

Cuando se usa el lenguaje para generar o evitar una acción, puede tratarse de una orden, un pedido, una prohibición, una interrogante etcétera. Cuando un padre le dice a su hijo que se lave las manos antes de comer, la intención no consiste en comunicar una información o en expresar o evocar una emoción en particular. El lenguaje intenta en este caso obtener resultados, ocasionar la acción de tipo previsto. Ejemplos:

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  1. FUNCIÓN INFORMATIVA

Cuando se usa el lenguaje para describir objetos, hechos o situaciones, haciendo referencia a las características o cualidades que se supone, le corresponden efectivamente. El lenguaje usado para para afirmar o negar proposiciones, o para presentar argumentos, se dice que sirve a la función informativa. Ejemplos:

2.3. Conceptos básicos de la lógica

De todas las funciones del lenguaje, la lógica toma en cuenta sólo aquellas oraciones que sirvan para afirmar, negar, describir, informar, etc. Estas oraciones son las declarativas o aseverativas y son las únicas que pueden constituir proposiciones, según cumplan o no determinados requisitos.

La proposición es una oración aseverativa de la que tiene sentido decir que es verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez

Veamos algunos ejemplos de proposiciones:

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NOTA

Las proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r . . . . . .

La notación p: Tres más cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la proposición “tres más cuatro es igual a siete”.

Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras. Las siguientes expresiones no son proposiciones.

Es importante notar que lo que interesa básicamente en una expresión proposicional es su sentido de verdad o falsedad.

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Lo anterior se fundamenta en la premisa de que oraciones distintas pueden expresar una misma proposición.

Por ejemplo, las 3 oraciones siguientes expresan una sola proposición:

2.4. Valor de verdad

Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso (González, 2005)

Analicemos las siguientes afirmaciones y determinemos cuáles son proposiciones y determinar el valor de Verdad de aquellas que lo sean.

Solución:

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2.5. Proposición compuesta

Si las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn se combinan para formar la proposición P, diremos que P la es una proposición compuesta de p1, p2, . . . , pn.

Observemos los siguientes ejemplos:

“La Matemática Discreta es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor” es una proposición compuesta por las proposiciones “La Matemática Discreta es mi asignatura preferida” y “Mozart fue un gran compositor”

“Él es inteligente o estudia todos los días” es una proposición compuesta por dos proposiciones: “Él es inteligente” y “Él estudia todos los días.

NOTA

La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen junto con la forma en que están conectadas.

2.6. Variables de enunciado

Es una proposición arbitraria con un valor de verdad no especificado, es decir, puede ser verdad o falsa.

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En el cálculo lógico, prescindiremos de los contenidos de los enunciados y los sustituiremos por variables de enunciado. Toda variable de enunciado p, puede ser sustituida por cualquier enunciado siendo sus posibles estados, verdadero o falso. El conjunto de los posibles valores de una proposición p, los representaremos en las llamadas tablas de verdad, ideadas por L. Wittgenstein1

2.7. Conectivos lógicos

Se denominan conectivos lógicos a aquellas palabras o términos funcionales que ligan, juntan, unen o enlazan las proposiciones simples formando proposiciones compuestas. Los operadores o conectivos básicos son:

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Aquí entran en juego las tablas de verdad, o tablas de valores de verdades, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar

1. NEGACIÓN

Es un CONECTIVO u OPERADOR UNARIO. Se denomina proposición negativa aquella que cambia el valor de la proposición original. Se denota por: ~p, ¬p y se lee: “no p”. La negación, puede traducirse como:

No es cierto que ... Nadie que sea ... Jamás ...
Es falso que ... No es el caso que ... Es inconcebible que ...
Nunca ... No es verdad que ... Es imposible que ...
No ocurre que ... Es absurdo que ... Es erróneo que ...
Es mentira que ... No acaese que ... De ningún modo ...
No es el caso que ... Es inadmisible que ... Es incierto que ...
Es refutable que ... Es falaz que ... En modo alguno ...

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Veamos un ejemplo:

p: INDECOPI es el Instituto Nacional de Defensa de la Competencia y de la Protección de la Propiedad Intelectual.

~p: Es falso que INDECOPI sea el Instituto Nacional de Defensa de la Competencia y de la Protección de la Propiedad Intelectual.

Su tabla de verdad es como sigue:

p ¬ p
1 0
0 1

2. CONJUNCIÓN

Dadas las proposiciones “p”, “q”. La conjunción es el resultado de unir estas proposiciones con el conectivo lógico “y”. Se denota con el símbolo: “ ∧”, “&”, se escribe “p ∧ q”, “p & q” y se lee: “p y q”. La proposición conjuntiva es verdadera. Cuando las dos proposiciones son verdaderas. En nuestro lenguaje podemos emplear:

Pero ... Aún cuando ... No obstante ...
Sin embargo ... Al igual que ... Aunque ...
Además ... Tanto ... como ... Más aún ...

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Incluso ... No solo ... sino también ... Es compatible con ...
Así como ... A pesar de ... Así mismo ...
Del mismo modo ... ... con ... los dos a la vez De la misma forma que ...

Consideremos las siguientes proposiciones:

p: “Roxana estudia”

q: “Roxana escucha música”

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por:

p & q: Roxana estudia al mismo tiempo que escucha música

Su tabla de verdad es como sigue:

p q p & q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

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3. DISYUNCIÓN

Es una proposición compuesta formada por “p” y por “q” relacionadas por el conectivo lógico “o”. Según el sentido del conectivo “o”, se puede interpretar de dos maneras: inclusiva o exclusiva

Se denota por “p ∨ q”, “p + q” y se lee: “p o q”. La disyunción inclusiva es falsa sólo en el caso que ambas proporciones sean falsas. Se conoce como la suma lógica. Otras formas de conexión que nos indican una disyunción inclusiva son:

A menos que ... O en todo caso ... Excepto que ...
O también ... Salvo que ... O incluso ...
A no ser que ... O bien que ... Y bien o también que ...
Al menos uno de los dos ... o ... O sino ... Alternativamente ...

Consideremos las proposiciones:

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p ∨ q: Mañana estudiaremos Química o sino estudiaremos Física

Observemos su tabla de verdad:

52



p q p ∨ q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Se denota por:

Se lee: “p o q” pero no ambos. La disyunción exclusiva es verdadera sólo cuando una de las proposiciones es verdadera. Algunas formas de conectivos a emplear son:

O ... o ... ... no equivale a ... O bien ... o ...
No es cierto que ... equivale a ... No es equivalente ... con ... O solo ... o solo ...
... A menos que solamente ... ... salvo que únicamnete ... ... excepto que solo ...
... o bien necesariamente ... ... o exclusivamente ... ... no es idéntico a ...

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Consideremos las proposiciones:

p: “Este año viajaré al extranjero” q: “Viajo a Lima”

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por:

p ∆ q: “Este año viajaré al extranjero salvo que únicamente viaje a Lima”

Su correspondiente tabla de verdad es:

p q p ∆ q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

4. CONDICIONAL

Proposición compuesta que resulta de la combinación de dos proposiciones simples, a través del conectivo: “Si ..., entonces ...” y sus símbolos son : “→”, “⊃”. Las notaciones “p → q”, “p ⊃ q” se leen “Si p, entonces q”.

La proposición “p” se llama antecedente o hipótesis y la proposición “q” se llama consecuente o conclusión. La manera de expresar la condicional en el orden antecedente-consecuente

54

He aquí algunas expresiones que nos indican imnplicación directa:

Si p, entonces q p por lo tanto q Siempre que p, entonces q
P por consiguiente q p es suficiente para que q p por ende q
p implica q p por conclusión q Ya que p bien se ve que q
Dado que p por eso q En cuanto p por lo tanto q Porque p por eso q

Puede también expresarse en el orden consecuente-antecedente (“q ← p”) Implicación inversa, algunas expresiones son:

q si p q es implicada para p q de modo que p
q siempre que p q cada vez que p q puesto que p
q es necesario para p q en vista que p q porque p
Solo si p, q Solo cuando p, q Solamente porque p, q
q dado que p q ya que p q cada vez que p
q a condición de que p q que se concluye de p q supone que p

Consideremos las proposiciones:

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De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por:

La correspondiente tabla de verdad es:

p q p → q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

5. BICONDICIONAL

Cuando dos proposiciones están unidas por el conectivo lógico “...si y sólo si...”, cuyo símbolo puede ser: “↔”, “≡”, “⇔”.

La proposición compuesta se denota por: “p ↔ q”, “p ≡ q”, “p ⇔ q” y se lee: “p sí y sólo si q”.

La proposición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas, veamos algunas expresiones bicondicionales:

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... siempre y cuando ... .. es equivalente a ... Es condición suficiente y necesaria para
... es lo mismo que ... ... por lo caul y según lo cual ... ... cuando y solo cuando ....
... cada vez que y solo si ... Si y solo p, q ... si de la forma ...
... siempre que y solo cuando ... ... es idéntico a ... .... implica y está implicado por ...

Consideremos:

p: “El que yo te sonría” y q: “Yo te enamore”

Observemos la siguiente tabla de verdad bicondicional para esas dos proposiciones:

p q p ⇔ q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

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Ello implica que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por:

p ⇔ q: El que yo te sonría es lo mismo que yo te enamore.

En la siguiente escena interactiva puedes verificar lo aprendiste en las anteriores líneas acerca de las tablas de verdad:

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2.8. Notación proposicional

En lógica nos interesa saber cómo están combinadas las proposiciones, y no nos interesa en absoluto su significado. Por ello necesitamos unos símbolos que prescindiendo del significado de las proposiciones nos indiquen la forma en que se combinan. Estos símbolos constituyen un lenguaje formal.

Las proposiciones atómicas pueden ser sustituidas por letras minúsculas p, q, r, etc., denominadas variables proposicionales.

La operación consiste en sustituir las expresiones del lenguaje natural por símbolos lógicos, a la cual llamaremos formalización y la proposición debidamente formalizada la llamaremos fórmula

Ejemplos

  1. Mario Vargas Llosa obtuvo el Premio Nobel de Literatura 2010. Fórmula será simplemente: p
  2. Democracia significa un modo de vida en el que la libertad y la justicia están presentes.
    • p = Democracia significa un modo de vida en el que la libertad está presente
    • q = Democracia significa un modo de vida en el que la justicia está presente
    • Fórmula: p ∧ q

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  1. O está lloviendo y garuando, o está soplando el viento.
    • p = Está lloviendo
    • q = Está garuando
    • r = Está soplando el viento
    • Fórmula: (p ∧ q) ∆ r

  2. Si Pablo se queda, entonces Luis se va.
    • p = Pablo se queda
    • q = Luis se va
    • Fórmula: p → q

  3. Cientos de vidas podrían salvarse cada año si la gente utilizara el cinturón de seguridad.
    • p = cientos de vidas pueden salvarse cada año
    • q = La gente utiliza el cinturón de seguridad
    • Fórmula: q ← p

  4. No es el caso que, si la luna está hecha de queso verde, entonces los vehículos espaciales no pueden alunizar en ella.
    • p = La luna está hecha de queso verde
    • q = Los vehículos espaciales pueden alunizar en la luna
    • Fórmula: ¬(p → ¬q)

  5. Si los verdaderos amigos tienen todo en común, entonces tú no puedes ser más rico que tu compañero si dices que son verdaderos amigos.
    • p = Los verdaderos amigos tienen todo en común
    • q = Puedes ser más rico que tu compañero
    • r = Dices que tú y tu compañero son verdaderos amigos.

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    Fórmula: p→(r → q)

  1. Dos es un número primo porque sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.
    • p = 2 es un número primo
    • q = 2 es divisible por sí mismo
    • r = 2 es divisible por la unidad

    Fórmula: p ↔ (q ∧ r)

  2. Decir que la suma de sucesiones positivas es una sucesión positiva y el producto de sucesiones positivas es una sucesión positiva equivale a decir que la suma y el producto de dos números reales positivos es un número real positivo
    • p = La suma de sucesiones positivas es una sucesión positiva
    • q = El producto de sucesiones positivas es una sucesión positiva
    • r = La suma de dos números reales positivos es un número real positivo
    • s = El producto de dos números reales positivos es un número real positivo.

    Fórmula: (p ∧ q) ↔ (r ∧ s)

  3. Si el Rh de la futura madre es negativo, debe analizarse inmediatamente después de cada parto la sangre del recién nacido y, si ésta es Rh positivo, ha de administrarse a la parturienta el suero apropiado si se desea evitar complicaciones a otros hijos.
    • p = El Rh de la futura madre es negativo.
    • q = La sangre del recién nacido debe analizarse inmediatamente después de cada parto
    • r = La sangre del recién nacido es Rh positivo
    • s = Ha de administrarse a la parturienta el suero apropiado
    • t = Se desea evitar complicaciones a otros hijos

    Fórmula: (p → q) ∧ (r → (t → s))

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2.9. Valoración de las proposiciones

Para determinar la valoración de las proposiciones moleculares, es necesario tener en cuenta las tablas de verdad, observemos el siguiente ejemplo:

  1. “Los virus son alternados no obstante son virulentos. Por tanto tienen una clasificación” Tenemos las proposiciones:
    • p: “Los virus son alternados”
    • q: “Los virus son virulentos”
    • r: “Tienen una clasificación”
p q r p ∧ q r
0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 0
1 0 1 0 1 1
1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1

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Luego: como se puede observar el esquema molecular tiene 3 proposiciones simples, es decir que para este caso se tiene: 23 = 8 asignaciones posibles para los valores de verdad en total.

Se formaliza por: (p ∧ q) → r

Veamos un segundo ejemplo:

  1. "Siempre que se apruebe el crédito entonces compraré el apartamento; sin embargo se aprueba el crédito. Por tanto compraré el apartamento"

Sean las proposiciones:

Se formaliza por: [(p → q) ∧ p] → q

La tabla de verdad para el esquema molecular, está dada por:

p q [(p → q) ∧ p] → q q
0 0      1         0         0 1 0
0 1      1         0         0 1 1
1 0      0         0         1 1 0
1 1      1         1         1 1 1

Vamos a considerar un tercer ejemplo:

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  1. La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos pero los analistas en economía buscan soluciones, a pesar de que la crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos.

Tenemos las proposiciones:

  1. p: “La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos”
  2. q: “Los analistas en economía buscan soluciones”
  3. ¬p: “La crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos económicos”

Se formaliza por: (p ∧ q) ∧ ¬p

La tabla de verdad para el esquema molecular, está dada por:

p q (p ∧ q) ¬p
0 0 0 0 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 0
1 1 1 0 0

Como podemos apreciar las proposiciones, las expresamos en forma simbólica; a su vez que podemos encontrar sus valores de verdad. Con el fin de diferenciar los valores resultados de las expresiones, se definen los siguientes conceptos:

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A. Tautología

Una expresión es tautológica, cuando los valores de su conectivo principal resultan ser verdaderos, para todas las asignaciones posibles de la tabla de verdad. Ver ejemplo (2).

B. Contradicción o falacia

La expresión resulta ser una contradicción, cuando los valores de su conectivo principal resultan ser falsos, para todas las asignaciones posibles de la tabla de verdad. Ver ejemplo (3).

C. Contingencia o indeterminación

Aquella expresión, que en su conectivo principal resulten valores verdaderos y falsos a la vez, para todas las posibles asignaciones de la tabla de verdad. Ver ejemplo (1).

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INFERENCIA LÓGICA

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INFERENCIA O DEDUCCIÓN LÓGICA


3.1. Los sistemas deductivos

En el capítulo tres hemos aprendido las leyes de las lógica, leyes que no necesitan ser demostradas ya que son tautologías, es decir, son verdaderas, por lo que es permitido llamarlas moldes correctos de razonamiento, así que al ser remplazadas las letras proposicionales o proposiciones cualquiera que sean verdaderas, será verdadera también la proposición que corresponde a la conclusión

Conocidas entonces las leyes, podemos dirigirnos ya hacia una parte de la lógica formal: inferencia y deducción. Las reglas de inferencia que rigen los términos de enlace son relativamente simples, éstas y su uso se pueden aprender como se aprenden las reglas de un juego. El juego se juega con proposiciones representadas cada una de ellas por letras proposicionales y los conectivos que sean necesarios, se comienza con proposiciones compuestas, las que corresponden a las premisas. El juego consiste en utilizar las reglas de inferencia de manera que permitan obtener otra proposición llamada conclusión. El paso lógico de las premisas a la conclusión es una deducción. Así, que la idea de inferencia se pueda expresar como sigue: De premisas verdaderas se obtiene sólo conclusiones que son verdaderas; es decir, si las premisas son verdaderas entonces las conclusiones que se derivan de ellas lógicamente serán verdaderas.

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3.2. La deducción

En Matemática el concepto de deducción debe ser considerado en relación a un sistema axiomático. Los sistemas axiomáticos, más allá de las diferencias que se verifican entre sistemas de lógica y sistemas científicos, constan de:

1. Una completa especificación del vocabulario primitivo (signos que convencionalmente no se definen).

2. Una definición de fórmula del sistema o sea de aquellas secuencias de dos o más signos primitivos en orden consecutivo o lineal aceptados en el sistema.

3. Definiciones o estipulaciones que permitan abreviar expresiones en determinadas maneras y que legitiman la introducción de nuevos signos en el sistema.

4. Axiomas o listas de fórmulas consideradas convencionalmente como, primitivas.

5. Reglas de inferencia: Las reglas de inferencia que rigen el uso de los términos de enlace son muy simples. Se pueden aprender estas reglas y su uso, como se aprenden las reglas de un juego. El juego se juega con proposiciones. Se empieza con conjuntos de proposiciones simbolizadas que se llaman premisas. El objetivo del juego es utilizar las reglas de inferencia de manera que conduzcan a otras proposiciones que se denominan conclusiones. El paso lógico de las premisas a la conclusión es una deducción. La conclusión que se obtiene se dice que es una consecuencia lógica de las premisas si cada paso que se da para llegar a la conclusión está permitido por una regla. La idea de inferencia se puede expresar como: “de premisas verdaderas se deducen sólo conclusiones que son verdaderas”.

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3.3. Premisa

La premisa es cada una de las proposiciones (oraciones aseverativas de las que se puede decir que son verdaderas o falsas) a la conclusión de un argumento.

3.4. La inferencia lógica

Se puede expresar de la siguiente manera: de premisas verdaderas se obtienen conclusiones verdaderas, es decir que es una deducción. En otras palabras, si las premisas son verdaderas, las conclusiones que derivan de ellas lógicamente han de ser verdaderas.

Las inferencias lógicas son fórmulas condicionales y asu vez son tautólogías, es decir, solo algunas condiciones son inferencias. También se els llama fórmulas de implicación, reglas de derivación, reglas de deducción o reglas de inferencia.

3.5. Reglas de inferencia

Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración. En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas.

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Para qué sirven las reglas de inferencia?

Las reglas de inferencia sirven para deducir conclusiones lógicas a partir depremisas.

La conclusión en este sentido es una consecuencia lógica de las premisas. Si cada paso que se da para llegar a esa consecuencia lógica se encuentra permitido por una de las reglas de inferencia, entonces habremos hecho un ejercicio de deducción.

Ahora veamos como funciona, este es un ejemplo de inferencia de la vida cotidiana:

- Si se presenta un huracán, entonces hay desatres en zonas costeras. Esta es una premisa

- Hay un huracán esta es la segunda premisa

¿Qué conclusión puede sacar de estas dos premisas?

La respuesta es: hay desatres en la zona costera

En el capítulo de lógica, le dimos forma esquemática a las proposiciones cuando a cada una de ellas se le asigna una letra proposicional, retomando esto, el esquema para esta proposición será:

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Partiendo de este pensamiento real, procedemos a estudiar cada una de las principales reglas de inferencia; por lo que, ellas nos permitirán, comenzar un nuevo proceso, como es, el de las deducciones o demostraciones.

Cuando se usa una regla de inferencia para pasar de un conjunto de proposiciones a otra proposición se demuestra que la última proposición es consecuencia lógica de las otras. Esto se puede expresar de muchas maneras.

Se puede decir que se ha derivado la conclusión de las premisas, que la conclusión se infiere de o es implicadapor las premisas, que la conclusión se deduce de las premisas, entre otras formas.

Todas estas palabras o expresiones significan lo mismo: Dadas ciertas proposiciones, si una regla de inferencia nos permite pasar a otra proposición, entonces esta proposición es una conclusión lógica de las proposiciones dadas.

Al aprender estas reglas de inferencia, veremos que se puede demostrar que una conclusión se deduce lógicamente de un conjunto de premisas (p), aunque no se pueda ir de un conjunto de premisas a la conclusión en un solo paso, yendo por pasos sucesivos, cada uno permitido por su regla, es posible alcanzar la conclusión deseada. Si es así, se ha demostrado que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas dadas.

Se Presentamos a continuación las principales reglas de inferencia válidas, recordando que cada una de ellas está asociada con su ley lógica correspondiente, lo que permite hacer el paralelo entre la ley, la regla y su nombre respectivo.

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Con el manejo de estas reglas, empezamos a aprender a manejar el método de las deducciones formales; esto significa que hemos aprendido el camino preciso de demostrar que los razonamientos son válidos.

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1. MODUS PONENDO PONENS (PP)

El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens ’ significa, “afirmando afirmo ” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).

Ejemplo

Si la selección colombia juega hoy, entonces, Fernando está en el estadio ..... Premisa N°1

la selección colombia juega hoy ................................................ Premisa 2

Fernando está en el estadio ................................................... conclusión

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Ejemplo

¿Qué conclusión se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas?, simbolice cada premisa utilizando una letra proposicional.

a) Si Luis está en Bogotá, entonces su reloj marca la misma hora que en Medellín. Luis está en Bogotá.

Premisa N°1: Luis está en Bogotá, entonces, su reloj marca la misma hora que en Medellín.

Premisa N°2: Luis está en Bogotá

Conclusión: El reloj de Luis marca la misma hora que en Medellín

simbolizando cada premisa:

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EJERCICIO

1. Decidir si la proposición que aparece es correcta, después de haber analizado cada una de las premisas; Coloque una C si es correcta, o NC si no lo es.

2.Utilizando la regla Modus Ponendo Ponens para sacar una conclusión de cada uno de los conjuntos de premisas que se presentan:

3. Utilizar la regla Modus Ponendo Ponens para deducir una conclusión de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes:

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4. Deducir la conclusión, escribiendo la abreviatura que corresponda a la regla que permita obtener el renglón siguiente.

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2. REGLA DE DOBLE NEGACIÓN (D N)

La regla de la doble negación es una regla muy simple, ésta permite pasar de una única premisa a la conclusión

El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así por ejemplo:

No es cierto que Luisa no es una estudiante, con ello, se concluye que Luisa es una estudiante.

La regla ‘doble negación’, simplemente establece que, si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado.

Ejemplo

Aplicando la regla de la DN. ¿Qué conclusiones puede sacar de las siguientes premisas?

1. María viaja en metro para ir a la universidad.

De esta premisa aplicando la regla de DN. Se puede concluir:

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No es cierto que María NO viaje en metro para ir a la universidad.

2. María estudia en el Instituto Tecnológico Metropolitano, ITM.

De esta premisa aplicando la regla de doble negación se puede concluir:

NO es cierto que María NO estudie en el ITM.

3. Este numeral presenta varios ejemplos en los que esquemáticamente puede estudiarse el manejo de la regla de la DN:

4. Ya que se conocen las reglas de Modus Ponendo Ponens y Doble Negación, éstas pueden ser utilizadas para llegar a la conclusión:

81



EJERCICIO

Para este conjunto de ejercicios se deben aplicar las dos reglas de inferencia ya estudiadas:

1) A continuación, debe analizar si es o no posible aplicar las reglas ya estudiadas (PP y DN), señale la C si la afirmación es correcta o una N C si no es correcta:

2. Efectuar cada una de las siguientes demostraciones aplicando las reglas.

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3. REGLA MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT)

Esta regla también se aplica a proposiciones condicionales, pero en este caso la negación (tollendo) del consecuente es otra premisa, pudiendo inferir la negación (Tollens) del antecedente del condicional.

En esta regla, podemos observar en sus variaciones la doble negación, para ellas es posible aplicar la regla de doble negación ya estudiada.

Tollendo tollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar.

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Ejemplo

1. Aplicar la regla de Tollendo Tollens al siguiente enunciado:

Premisa 1: La tierra es un planeta, entonces el planeta está habitado por el hombre

Premisa 2: El planeta no está habitado por el hombre

Conclusión: La tierra no es un planeta

Este ejemplo se simbolizará de la manera siguiente:

p: la tierra es un planeta

q : el planeta está habitado por el hombre

q: El planeta no está habitado por el hombre

2. De las premisas dadas, deducir respectivamente lo que se solicita en cada ejercicio: :

84



EJERCICIO

1. Aplicando cada una de las reglas estudiadas a cada una de las premisas, demostrar cada una de las siguientes proposiciones:

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2. A qué conclusión se puede llegar utilizando la regla TT. Escriba la conclusión en palabras.

a) Si un ángulo de un triángulo es mayor de 90 grados, entonces la suma de los otros dos ángulos es menor de 90 grados. La suma de los otros dos ángulos no es mayor de 90 grados.

b) Si la luz fuera simplemente un movimiento ondulatorio continuo, entonces la luz más brillante daría lugar siempre a una emisión de electrones con mayor energía que los originados por la luz tenue. La luz más brillante no siempre no siempre emite electrones con mayor energía que los originados por la luz más tenue.

c) Si llovió la pasada noche, entonces las calles se han lavado. Las calles no se han lavado.

3. Demostrar cada una de las siguientes proposiciones, siguiendo cada uno de los pasos que sean necesarios

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4. REGLA DE SIMPLIFICACIÓN (S)

Esta regla, permite pasar de una conjunción a cada una de las proposiciones simples que la conforman, en este caso P y Q respectivamente, cada una de ellas está unida por una conjunción (y). De la premisa "p y q", se pude concluir p o se puede concluir q.

Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado.

Por ejemplo cuando decimos tengo un libro de física y un cuaderno. podemos concluir: tengo un libro de física y también pude concluir: tengo un cuaderno.

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Observción: La regla de simpliifcación, solo se puede aplicar cuando la conjunción hace parte del conectivo principal.

Ejemplo

Para las siguientes aplicaciones aplicar la ley de simplificación:

5. REGLA DE LA UNIÓN O ADJUNCIÓN (U)

Si se tiene como premisas las proposiciones p, q podemos concluir la conjunción de las dos proposiciones "p y q"

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Ejemplo

Para los siguientes ejercicios, aplicar la regla de la unión o adjunción:

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EJERCICIO

1. Para los siguientes ejercicios aplicar la regla que corresponda a cada caso, para lograr la conclusión requerida.

6. REGLA DE LA ADICIÓN (AD)

Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción) acompañado por cualquier otro enunciado.

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Ejemplo

Aplicando la ley de AD, obtener las siguientes conclusiones

.

EJERCICIO

Indicar cada paso que debe seguir para llegar a la conclusión, partiendo del conjunto de premisas dadas y a la vez, definir el conectivo escrito en español en su forma esquemática, del lenguaje de la lógica.

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7. REGLA DE MODUS TOLLENDO PONENS (TP)

La disyunción, que se simboliza con el operador , representa una elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos.

A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendo ponens (negando afirmo): si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado.

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Ejemplo

Los ejemplos presentados a continuación, se refieren al uso de la regla Modus Tollendo Ponens, esta regla al igual que las anteriores no está limitada a proposiciones simples la disyunción puede aplicarse de igual forma a proposiciones moleculares, lo que hace en este caso, muy necesario el uso de los paréntesis y demás símbolos auxiliares para indicar el conectivo lógico predominante.

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EJERCICIO

1. Para los siguientes ejercicios aplicar la o las reglas que sean necesarias para lograr demostrar que la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas.

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2. ¿Qué conclusión será posible obtener con el siguiente conjunto de premisas, utilizando la regla de TP?

a) El señor Luis o es un ingeniero o es un político. No es un ingeniero.

b) El puerto de Buenaventura o está en la costa pacífica o en la costa atlántica. No está en la costa atlántica.

c) Si voy a estudiar a la Universidad me debo dedicar o Pierdo el curso. No pierdo el curso.

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8. REGLA DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)

Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero.

Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y esta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia lógica:

Para presentar la ley y la regla, tengamos en cuenta otra forma de expresarlo:

Se tiene dos premisas, la primera el un expresión condicional al igual que la segunda, pero, se debe tener presente que el antecedente de la segunda es el consecuente de la primera; su consecuente es cualquier otra proposición para así concluir una proposición condicional con el antecedente de la primera y el consecuente de la segunda expresión.

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Ejemplos

En los siguientes ejemplos, obsérvese que pueden ser utilizadas tanto las proposiciones atómicas como las proposiciones moleculares, lo mismo que las negaciones:

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EJERCICIOs

Demostrar las siguientes proposiciones utilizando las reglas que para ello sean necesarias.

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9. REGLA DEL DILEMA CONSTRUCTIVO (DC)

Es una inferencia que dice que si P implica Q; y R implica S; y, o bien Q es falsa o S es falsa; entonces necesariamente o P es falsa; o R es falsa. En suma, si dos condicionales son verdaderos, pero uno de sus consecuenteses falso, entonces uno de sus antecedentes tiene que ser falso.

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Ejemplos

Los siguientes son ejemplos para aplicar la regla del dilema constructivo (DC).

EJERCICIOS

Para los siguientes ejercicios, aplicar las reglas que se consideren necesarias para

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Presentar una deducción completa con cada una de las premisas.

101



10. REGLA DE SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD)

Si se tiene como premisa una disyunción entre dos proposiciones.

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Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones.

Una aplicación importante de la ley de simplificación disyuntiva se presenta cuando un silogismo disyuntivo tiene la siguiente forma especial:

Ejemplos

Al gunos ejemplos para esta ley son:

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EJERCICIOS

Utilizar la regla del dilema constructivo y simplificación disyuntiva para obtener la conclusión de cada uno de los conjuntos de premisas.

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11. REGLA CONMUTATIVA (C)

Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la disyunción. Una conjunción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción es presentar una elección entre dos cosas, sin importar en qué orden se presente esta elección.

Si se tiene como premisa una conjunción, una disyunción o un bicondicional, podemos inferir una conjunción, una disyunción u una bicondicional, pero cambiando de posición cada una de las proposiciones que las conforman, es decir, se aplica la propiedad conmutativa.

Ejemplos

Para los siguientes ejemplos utilizar las reglas que sean necesarias, al igual que la regla de la conmutación para lograr cada demostración planteada.

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12. REGLAS DE DUALIDAD DE MORGAN (DM)

Si se presenta la ley se puede transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y negación de los términos de la disyunción/conjunción, así como de la propia operación en conjunto, o dicho de otra forma:

Si se tiene una conjunción, una disyunción, un condicional, precedidos cada uno de una negación, lo que se ha de hacer para aplicar la regla de DUALIDAD DE MORGAN, es verificar la siguiente condición: Cambiar la conjunción por disyunción; o la disyunción por conjunción. simbólicamente se tiene las siguientes opciones:

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En lógica proposicional y álgebra booleana , las leyes de De Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas válidas de inferencia . Llevan el nombre de Augustus De Morgan , un matemático británico del siglo XIX. Las reglas permiten la expresión de conjunciones y disyunciones puramente en términos entre sí a través de la negación.

Ejemplos

Aplicar las leyes de Morgan a las siguientes proposiciones para lograr deducir la conclusión.

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EJERCICIOS

Realizar una demostración completa, aplicando las reglas de inferencia necesarias para cada uno de los razonamientos siguientes.

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13. REGLA DEL BICONDICIONAL (RB)

Si se tiene como premisa una proposición molecular conformada por un bicondicional, se podrá concluir cualquiera de los condicionales que están unidos por la conjunción.

Ejemplos

Aplicando la regla del bicondicional, obtener cada uno de los condicionales que corresponda a cada caso.

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EJERCICIOS

1. Identificar cada uno de los términos de enlace que se encuentran en las siguientes proposiciones:

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a) El niño va al colegio si y solamente si está matriculado.

b) Dos triángulos son iguales si y solamente si tiene un ángulo igual, comprendido por lados respectivamente iguales.

c) Dos triángulos son iguales si y solamente si tienen un lado adyacente a ángulos respectivamente iguales.

d) Un triángulo es equilateri si y solamente si sus tres lados son iguales.

e) Un triángulo res rectángulo si y solamente si tiene un ángulo recto.

f) Luis irá caminando a su trabajo si y solamente si se le ha descompuesto su carro.

2. Simbolizar cada una de las proposiciones moleculares del numeral anterior, indicando cada una de las proposiciones atómicas que las conforman.

3. Aplicando las reglas que sean necesarias en cada caso, presentar una deducción paar cada uno de los casos siguientes:

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3.6. Métodos de demostración

Teóricamente, sabemos que las leyes del álgebra proposicional pueden ser deducidas utilizando las reglas de inferencia; sin embargo, se establecen métodos de demostración con la intención de simplificar este proceso.

Algunos de los métodos más usados en la demostración de proposiciones lógicas o matemáticas se enumeran a continuación:

Algunos de los métodos más usados en la demostración de proposiciones lógicas o matemáticas se enumeran a continuación:

A. MÉTODO DIRECTO

Este método también llamado de hipótesis a tesis.

Este método se utiliza en la demostración de implicaciones y puede ser enunciado como sigue: Sean p y q un par de proposiciones. Al suponer que p es verdadera, se puede hacer una demostración de que q es verdadera, entonces la proposición p → q es una proposición verdadera. Ahora la pregunta que sigue a esta afirmación es en qué podemos apoyarnos para tal conclusión, la sugiere la tabla de verdad del condicional, la que nos muestra que con el antecedente verdadero sólo existe implicación cuando el consecuente también es verdadero.

B. MÉTODO DEL CONTRARRECÍPROCO.

La proposición p → q puede ser interpretada como: q es necesaria para p; esto

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significa que si no se da q, tampoco es posible que se de p. Esta proposición, que se simboliza ~ q → ~ p se lama proposición contrarrecíproca de p → q, y se llama proposición contrarrecíproca de p → q.

Utilizando este proceso de demostración, podemos establecer que:

(p → q) ↔ (~ q → ~ p),esta equivalencia proporciona una forma alterna para la demostración de p → q, demostrando en su lugar, la proposición: ~ q → p.

C. MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO

En ese método es muy importante la consistencia de las reglas utilizadas. Es decir, a partir de estas no pueden derivarse por aplicación de las reglas lógicas contradicciones (proposiciones del tipo (p ∧ ~ p). Esta es la que constituye la fundamentación del método de demostración por reducción al absurdo, el que se enuncia como sigue:

"Si se puede inferir una contradicción, como conclusión de un conjunto de premisas y de la negación de una proposición, introducida como premisa, entonces p puede deducirse del conjunto de premisas únicamente"

Este enunciado, puede ser justificado al suponer ~ p como cierto, se adiciona a la teoría una nueva regla o una nueva premisa. Si la teoría era consistente, entonces la contradicción resultó del hecho de haber supuesto verdadera la proposición ~ p.

La ley que sustenta dicha regla se llama la ley de reducción al absurdo y se expresa así:

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Los pasos seguidos en la demostración indirecta son los siguientes:

a) Se introduce como premisa la negación de la conclusión deseada.

b) Con las premisas dadas y la negación de la conclusión se realiza una deducción subordinada para producir una contradicción.

c) Se establece la conclusión pedida mediante RA, como una inferencia lógica deducida de las premisas originales.

Es necesario ilustrar el método con un ejemplo, para ello demostremos ~ p y para lo cual se tiene el siguiente conjunto de premisas:

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115



EJERCICIOS



Ampliar









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118

TEORÍA DE CONJUNTOS

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4.1. Teoría de conjuntos

La idea de conjunto se adquiere en los comienzos de la vida, al manifestarse una de las virtudes primordiales del espíritu, la diferenciación, se empieza a percibir distintamente los objetos del mundo exterior, y a tener conciencia de la propia personalidad, originándose estos conceptos primarios, desarrollaremos aquí , en forma breve y explícita, lo que suele llamarse “Teoría Intuitiva de Conjuntos”, así como definiciones y consecuencias que derivan inmediatamente de ellos y que servirán como preámbulo al desarrollo profundo de la aritmética. Comenzaremos destacando el trabajo desarrollado por G. Cantor, a quién con justicia se le reconoce como “Creador o padre de la teoría de conjuntos”.

Concepto de conjunto

Se entiende por conjunto un grupo de entes con una o más características comunes. Los conjuntos están formados por elementos; de esta forma, un conjunto estará bien definido si es posible conocer todos sus elementos.

Representación de un Conjunto

Se suelen representar los conjuntos por letras mayúsculas del abecedario tales como: A, B, C... y los elementos del conjunto se designan normalmente por sus nombres o por letras minúsculas: a, b, c,...

Ejemplo: El conjunto de los días de la semana puede denominarse S y sus elementos serán: “lunes”, “martes”, “miércoles”, “jueves”, “viernes, “sábado” y “domingo”.

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Se acostumbra a cerrar entre llaves { } a los elementos del conjunto y disponer los elementos separados por comas. Así, el conjunto de los días de la semana con estas notaciones se escribiría del siguiente modo:

S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

Los conjuntos se pueden definir por:

Extensión

Cuando se describen exhaustivamente (es decir, nombrando a todos y cada uno de sus elementos, que, en tal caso, se escribirían entre llaves)

Ejemplo: A={Pedro, Juan, Luis, Manuel}

Comprensión

Cuando se indican las características de los elementos del conjunto o función proposicional p(x) que satisfagan todos los elementos x del conjunto definido y sólo ellos, dentro de un universo contextual ó relativo U”.

Ejemplo: B = {números pares}

C = {números enteros positivos menores de 10}

Ejemplo:

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Conjunto finito

Es aquel que consta de un número determinado de elementos, dicho de otra forma, si al efectuar el proceso de contar los elementos.

Conjunto infinito

Cuando el conjunto tiene un número indeterminado de elementos.

Subconjunto

Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto , o bien que A está incluido en B si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B .

Que A está incluido en B se simboliza.

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Si A no es subconjunto de B se escribe:

Propiedades de la inclusión

i) El conjunto vacío, Ø se considera subconjunto de todo conjunto.

El conjunto vacío es el que carece de elementos, se simboliza por Ø o {}. El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con más de 500 años de edad es un ejemplo de conjunto vacío.

ii) Si A no es subconjunto de B, entonces hay por lo menos un elemento de A que no es elemento de B.

iii)Todo conjunto es subconjunto de si mismo

Se dice que A es SUBCONJUNTO PROPIO de B si y sólo si A es subconjunto de B pero B es distinto de A, lo que a veces se denota por:

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Conjuntos iguales

Dos conjunto A y B son iguales ( A = B) si:

Para probar que dos conjuntos son iguales, será siempre necesario probar que cada uno de ellos está contenido en el otro (dos pruebas); este proceso se llama prueba por doble inclusión.

Conjunto universal

El conjunto universal es el conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Se denota por U y también se le llama conjunto universo.

Si U = N, el conjunto de números naturales,

A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {x/x es un número primo}; C = {x/x es un número natural par}, A, B, C son subconjuntos propios de U.

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Conjunto de partes o conjunto potencia

Se define el conjunto potencia o conjunto de partes de un conjunto dado A como el conjunto de todos los subconjuntos de A. Se representa como P(A).

En la lista de subconjuntos de A hay que tener en cuenta dos subconjuntos especiales: el mismo conjunto A, ya que A es subconjunto de sí mismo; y el conjunto vacío, Ø.

Ejemplo: Si A = {a, b, c}, entonces,

P(A) = {{a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c};Ø }

Observaciones

i) Los conjuntos {a}; {b}; {c}, son elementos o miembros de P(A). tales conjuntos constan de un solo elemento y se llaman "conjuntos unitarios".

ii)El conjunto A, está formado por tres elementos, y el conjunto P(A) por 8 = 23. En general, si un conjunto B posee n elementos, el conjunto P(B) constará de 2n

iii) Los elementos del conjunto P(A) son a su vez conjuntos. Un conjunto cuyos elementos son conjuntos, se llama familia de conjuntos. P(A) es un ejemplo de una familia de conjuntos.

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4.2. Diagramas de Venn y diagramas de Carrol

Los diagramas de venn permiten visualizar gráficamente las nociones conjuntistas y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal.

Figura 1 Representación de un diagrama de Venn. (Crédito. Elaboración propia)

En general para representar el conjunto universal se usa cualquier región cerrada del plano, con frecuencia un rectángulo, entendiendo que la región interior del rectángulo representa el conjunto universal, U. En la figura 1se han utilizado círculos para representar los subconjuntos A, B, y C de U.

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4.3. Operaciones con conjuntos

La Unión de conjuntos

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A ∪ B .

Esto es: A ∪ B = { x/ x ∈ A o x ∈ B }

En el diagrama de Venn, toda la región sombreada de la figura 2 corresponde a A ∪ B

Figura 2 Representación unión de conjuntos. (Crédito. Elaboración propia)

Ejemplo

A = {a, b, c, d}; B = {c, d, e, f}, El conjunto A unido B es: A ∪ B = {a, b, c, d, e, f}

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La intersección de conjuntos

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos), es decir, es el conjunto formado por todos los elementos repetidos y se denota A ∩ B.

Simbólicamente: A ∩ B = {x / x ∈ A y x ∈ B}

Ejemplo:Dados los conjuntos A = {a, b, 1, 2, 3} y B = {3, 4}; se tiene que A ∩ B = {3}

Propiedades

Estas propiedades hacen referencia a las prorpiedades de idempotencia, identidad, conmutativa, asociativa, distributiva

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Diferencia entre conjuntos

La diferencia entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos no comunes del conjunto B respecto al conjunto A; es decir, los elementos que están en A, pero no están en B y se denota A - B y simbólicamente, se representa:

Ejemplo

Dados dos conjuntos A 1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A - B = {1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

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Propiedades

Diferencia simétrica de conjuntos

La diferencia simétrica entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos no comunes de ambos conjuntos; es decir, los elementos que no están repetidos entre los conjuntos y se denota:

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Su representación en diagrama de Venn es la siguiente:

Ejemplos

Sea A = {1, 4, 9, 16, 25, 26...} el conjunto de los números cuadrados perfectos

Sea B = {1, 3, 5, 7, 9, 11...} el conjunto de los números impares

A Δ B = {3, 4, 5, 7...} es decir, el conjunto de elementos de A y B que no son comunes a ambos


Sea A = {1, 4, 9, 16, 25, 26...} el conjunto de los números cuadrados perfectos

Sea B = {2, 4, 6, 8, 10, 12...} el conjunto de los números pares

A Δ B = {1, 2, 6, 9...} es decir, el conjunto de elementos de A y B que no son comunes a ambos

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Propiedades

Complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto universal, denotado por A´ o Ac, es el conjunto constituídopor los elementos de U que no perteneces a A.

Simbólicamente se representa:

Ejemplo

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15}

Sea A={ 3,4,6,7}

Sea Ac = {1, 2, 5 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

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Observe en la figura, que Ac = U - A

Propiedades de las operaciones entre conjuntos

Bajo las operaciones definidas en los apartados anteriores, los conjuntos satisfacen varias leyes o identidades. Observaremos que existe una dualidad entre las leyes que utilizan la intersección y las que utilizan la unión.

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Observe que las anteriores leyes están formuladas por pares, lo cual da cuenta de la naturaleza dual de la teoría de conjuntos, tal como sucede con la lógica porposicional.

3.4. Analogía entre la lógica proposicional, la teoría de conjuntos y el álgebra booleana

Todas las leyes del álgebra de conjuntos se apoyan en el análisi lógico de la relacón de inclusión, de las operaciones binarias (de dos conjuntos)como es la unión y la intersección; y e la operación unitaria sobre el conjunto A, como es el complemento, Ac. Con base en esto, las leyes del álgebra de conjuntos se pueden traducir al lenguaje lógico de la sigiente manera:

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A continuación, se presenta la analogía de la teoría de conjuntos con cada uno de los conectivos lógicos y su interpretación.

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Continuación de la analogía de la teoría de conjuntos con cada uno de los conectivos lógicos y su interpretación.


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Ejemplo

1) simpliifcar:

2)Demostrar que los siguientes conjuntos son vacíos:

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Demostrar

Pareja ordenada y Producto Cartesiano

Pareja ordenada

Se dice que una pareja ordenada es un esquema en el que un elemento x de un conjunto estä relacionado con un elemento y de otro conjunto. Una pareja ordenada así definida se escribirá de la siguiente manera, (x, y), donde x pertenece al primer conjunto e y pertenece al segundo conjunto.

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Producto cartesiano

El poducto cartesiano de dos conjuntos cualquiera A y B, será un nuevo conjunto, identificado como A x B , y consistirá de un conjunto de parejas ordenadas, (x, y), donde x pertenece al conjunto A e y pertenece al conjunto B

Expresado simbólicamente tenemos: A x B = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}

Lo que nos dice que el producto cartesiano de A x B, esta formado por los pares ordenados (x, y), tal que el primer elemento x pertenece al conjunto A y el segundo elemento y pertenece al conjunto B.

Ejemplo 1

Si A = {3,4} y B = {1,3,8} y C = {3,8,9}, hallar (A x B) y (B x C).

Hallamos el producto cartesiano de A x B = {(3,1),(3,3),(3,8),(4,1),(4,3),(4,8)}

Hallamos el producto cartesiano de B x C = {(1,3),(1,8),(1,9),(3,3),(3,8),(3,9),(8,3),(8,8),(8,9)}

Ejemplo 2

Sea A = {3,4} y B = {5,6,7}, representar gráficamente el producto cartesiano de A x B.

Hallamos el producto cartesiano de A x B = {(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7)}

Gráficamente, se tiene:

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Diagrama cartesiano A x B

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En la siguiente escena creada con Descartes JS podemos visualizar algunos diagramas de John Venn para la representación de conjuntos:

Ampliar

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EJERCICIOS



Ampliar

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148

ÁLGEBRAS BOOLEANAS

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Álgebras Booleanas


Una función Booleana es una expresión matemática que emplea operadores booleanos, en la escena que aparece abajo nos encontramos un circuito sencillo con dos estados, haz clic en el botón "Encender" y en el botón "Apagar" y comprenderás los dos estados:

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En matemática y en aplicaciones como la informática, son estructuras algebraicas que esquematizan las operaciones lógicas Y, O , NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. El Álgebra de Boole es el algebra de 2 valores. Normalmente tienen el valor “0” y “1”, pero también pueden tener los valores de “falso” y “verdadero” así como "Si" y "No". Básicamente es un lenguaje en módulo 2, en la escena una idea de su aplicación:

A mediados del siglo XX el álgebra Booleana adquirió gran valor práctico, importancia que se ha ido incrementando hasta nuestros días en el manejo de información digital (Lógica Digital). Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular su teoría de la codificación y John Von Neumann pudo enunciar el modelo de arquitectura que define la estructura interna de los ordenadores desde la primera generación.

5.1. Látices o réticulas

Se denomina látice o réticula a una disposición geométrica de puntos o espaciamiento regular, es una red o conjunto parcialmente ordenado por una relación de orden, en el cual cada subconjunto {a, b} de este, tiene una mínima cota superior y una máxima cota inferior.

Se escribirá la mínima cota superior del conjunto {a,b} como m.c.s({a, b}) y se denotará por "a + b". Similarmente se escribirá la máxima cota inferior del conjunto {a, b} como M.C.I({a, b}) y se denotará por "ab". Las látices poseen algunas propiedades como la ley de idempotencia, la ley conmutativa, la ley asociativa y la ley de absorción:

152

Propiedades de las Látices

  1. Idempotencia: a + a = a et a a = a
  2. Conmutativa: a + b = b + a et ab = ba
  3. Asociativa: a + (b + c) = (a + b)+ c et a(bc)= (ab)c
  4. Absorción: a + ab = a et a(a + b) = a

Las retículas o látices pueden calificarse como acotadas, complementadas o distributivas.Una retícula complementada y distributiva, con mínimo dos elementos, adquiere la condición de Álgebra Booleana. Las álgebras Booleanas exhiben propiedades y teoremas:

Al introducir el concepto de Látices hemos expresado que es un conjunto parcialmente ordenado, ello puede raducirse como un conjunto finito con estructura de relaciones binarias de orden parcial. Es una formalización del concepto de orden, secuencia o arreglo de los elementos del conjunto, para su representación simplificada se recurre a los diagramas de Hasse1, puede verse también como un grafo al que se le quitan todos sus bucles y sus aristas que pueden deducirse con la propiedad transitiva y propiedad reflexiva.

Recordemos que un grafo es es un conjunto no vacío de puntos (nodos o vértices) conectados por líneas, aunque existe muchos tipos de grafos veamos dos:

153

Observemos un ejemplo de este último tipo de grafo:

Figura 4.1. Grafo dirigido

Este tipo de grafo nos permite construir la denominada matriz de adyacencia donde:

Si R es una relación binaria decimos que es de orden parcial si es reflesiva (a,a), antisimétrica (a,b) ≠ (b,a) y transitiva (a,b), (b.c) ∴ (a,c)

154

En el diagrama de Hasse del conjunto parcialmente ordenado (poset) de todos los divisores de un número n (36 para este ejemplo), ordenados parcialmente por divisibilidad, n mismo está en el tope del diagrama, el número 1 estaría en el fondo, y los divisores más pequeños (primos) seguirían al elemento inferior.

Figura 4.2. Diagrama de Hasse para los divisores de 36

Podemos observar su construcción de la siguiente manera:

  1. Un primer nivel donde solo aparece el número uno.
  2. El segundo nivel contiene los factores primos de la descomposición factorial
  3. En el tercer nivel observamos los resultados de la multiplicación de dos de esos factores primos
  4. siguiente nivel: el producto de tres de esos factores primos
  5. El nivel superior corresponde al número especificado

155

5.2. Álgebras Booleanas

Existe un comportamiento similar de los elementos de la teoría de conjuntos y el cálculo proposicional con sus conectivos logícos ∨ ∧ ∼ y las operaciones de unión, interseción y complemento de los conjuntos.

Las Álgebras boolenas de dos elementos son ampliamente empleadas en la modelación de fenómenos en los que los comportamientos de la variables de interés fluctúan solamente en dos estados posibles.

Un Álgebra Booleana es un conjunto L que contiene dos elementos diferentes, el 0 y el 1, posee operadores binarios ⊕ y ⊙ en L. Además de lo anterior posee un operador unario ' en L, formalmente, la tupla ( L, ≼ ) es una retícula si, y sólo si, para cualquier par de elementos a, b de L, se cumple:

  1.     (a')' = a
  2.     (a + b)' = a'b'
  3.     (ab)' = a' + b'

Si B es un Álgebra Booleana del conjunto L, podemos escribir:

B = (L, ⊕ , ⊙ , ' , 0 , 1)

Además, un Álgebra Booleana debe cumplir:

(x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z)    (x ⊙ y) ⊙ z = x ⊙ (y ⊙ z)

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x ⊕ y = y ⊕ x     x ⊙ y = y ⊙ x

x ⊙ (y ⊕ z) = (x ⊙ y) ⊕ (x ⊙ z)      x ⊕ (y ⊙ z) = (x ⊕ y) ⊙ (x ⊕ z)

x ⊕ 0 = x      x ⊙ 1 = x

x ⊕ x' = 1      x ⊙ x' = 0

Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario.

De igual manera que en el álgebra tradicional, también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana y por ello, los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios.

Todas las operaciones (representadas por símbolos determinados) pueden ser materializadas mediante elementos físicos de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o electrónicos) que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una respuesta (salida) también binaria o lógica.

157

Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor), Encendida/Apagada (bombilla), Cargado/Descargado (condensador), Nivel Lógico 0/Nivel lógico 1 (salida lógica de un circuito semiconductor), entre otros.

5.3. El Álgebra Booleana y los circuitos

El Álgebra Booleana es básica en el análisis de circuitos, en las computadoras digitales solo existen dos posibilidades en el manejo de los datos que no son más que combinaciones de bits, se emplea el 0 y el 1 para expresar las combinaciones posibles de bits.Los circuitos combinatorios se construyen con dispositivos sólidos que permiten realizar cambios de voltaje, estos se denominan compuertas:

5.4. Compuerta lógica Y (AND)

Una compuerta Y acepta x1 y x2 como valores de entrada, esos valores de entrada son bits y produce un dato de salida denotado por x1 ∧ x2 donde:

Su correspondiente tabla lógica es:

158

En la escena siguiente podemos observar la representación de la compuerta y la verificación de su resultado de salida:

5.5. Compuerta lógica O (OR)

Una compuerta O acepta x1 y x2 como valores de entrada, esos valores de entrada son bits y produce un dato de salida denotado por x1 ∨ x2 donde:

Proposicionalmente se corresponde con la disyunción, también llamada suma lógica. Un ejemplo sería el aserto "A menos que la ecuación del área sea falsa, el cálculo está correcto". Dicho aserto será verdadero siempre que lo sea alguna de las dos proposiciones (frases) que lo forman.

159

Su correspondiente tabla lógica es:

En la escena siguiente podemos observar la representación de la compuerta y la verificación de su resultado de salida:

5.6. Compuerta lógica NO (NOT)

Denominada también inversor acepta como entrada un valor A y arroja Ā como salida.

160

En la escena siguiente podemos observar la representación de la compuerta y la verificación de su resultado de salida:

5.7. Formas estándar de las funciones lógicas

Las funciones boleanas describen el comportamiento de los sistemas, donde cada operación lógica (suma, multiplicación, negación,...) posee una notación boleana que se pueden expresar como minterns o en maxterns.

  1. Minterns
  2. Se genera un mintern (Minitérmino) por cada fila de la tabla de verdad donde el valor de salida es "1" (V)

    • Contiene la entrada en orden de cada variable, podemos expresar que la entrada se encuentra en estado de no negada si para esa combinación es "1" y negada si es un "0"
    • La función lógica global es la suma de los minitérminos

161

  1. Maxterns
  2. Se genera un maxtern (Maxitérmino) por cada fila de la tabla de verdad donde el valor de salida es "0" (F)

    • Contiene la entrada en orden de cada variable, podemos expresar que la entrada se encuentra en estado de no negada si para esa combinación es "0" y negada si es un "1"
    • La función lógica global es el producto de los maxitérminos

La denominada función canónica es aquella donde están sin simplificar todas las variables de entrada en cada mintern y en cada maxtern.

De acuerdo a lo visto hasta el momento podemos extraer la expresión booleana de un circuito desde su tabla de verdad.

SUMA DE PRODUCTOS ESTÁNDAR

Cualquier función lógica puede expresarse por una suma de productos.

Dada la función z, expresarla como suma de productos

162

Ya hemos visto que cualquier función puede expresarse como una suma de productos.

Puede efectuarse una estandarización adicional que conduzca a una expresión en la que todos los términos contengan todas las variables.

Significa que cada variable lógica ya sea complementada o no aparece en cada uno de los productos. A cada uno de los productos se le llama minterm.

PRODUCTO DE SUMAS ESTÁNDAR

Utilizando el principio de dualidad, podemos imaginar que una expresión lógica puede expresarse también por un producto de sumas estándar.

Consideremos las mismas expresiones:

En el producto de sumas cada término es una suma de variables lógicas individuales.

Dada la función lógica:

Como en el caso de la suma de productos estándar la forma estándar para el producto de sumas, es aquella en la que cada paréntesis contiene todas las variables. Veamos el procedimiento siguiente:

Las expresiones resaltadas con color rojo se denominan maxterm.

164

Como ejemplo: convertir la siguiente expresión en formato de productos estándar.

Numeración de Minterms y Maxterms

Consideremos primero la numeración de minterms:

Cuando nos referimos a los maxterms, la regla para asignar 0 y 1 se invierte.

165

Se representa como m4.

Otros ejemplos:

Especificación de funciones mediante Minterms y Maxterms

La forma más conveniente de expresar una función lógica es mediante el criterio ya adoptado de numerar minterms y maxterms.

Tenemos como ejemplo la función:

Una función lógica puede representarse en una tabla de verdad por suma de minterms y por producto de maxterms.

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  1. Para expresar la función como suma de minterms nos interesa los valores en los que la función toma el valor de 1.
  2. Para expresar una función como producto de maxterms, tomamos en cuenta aquellos en los que el valor de la función es 0.

El dominio de una expresión Booleana es el conjunto de todas las variables (o sus complementos) contenido en una expresión.

Ahora vamos conocer un método sistemático de simplificación de expresiones Booleanas, denominado diagrama de Karnaugh que es una figura geométrica, que asocia una región a cada fila de una tabla de verdad (compartimiento).

167

5.8. Mapas de Karnaugh

Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como Mapa-K o Mapa-KV) es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas Booleanas. El mapa de Karnaugh fue inventado en 1953 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell.

Inicialmente hablaremos sobre la construcción de estos diagramas y de la identificación de sus comportamientos con las filas de la tabla de verdad, los minterms y maxterms.

Diagrama de Karnaugh para una variable.

Un diagrama de Karnaugh debe tener 2n compartimientos donde n es el número de variables. Por ello en el mapa de Karnaugh descrito para la variable A tenemos 21 compartimientos o sea 2. Antes de seguir podemos observar el siguiente vídeo donde nos ilustran la manera de simplificar un circuito mediante estos mapas:

168



Diagrama alternativo para 2 variables

169

En el diagrama de Karnaugh alternativo podemos observar:

Diagrama de Karnaugh de tres variables.

Ahora vamos a analizar la tabla de verdad para esta situación:

170

Diagrama de Karnaugh de cuatro variables.

Su tabla de verdad se describe a continuación

171

Simplificación de funciones lógicas con diagramas de Karnaugh.

172

Consideremos los minterms 5 y 13.

Estos dos minterms se diferencian solo en que la variable A está completada.

Consideremos los minterms 5 y 13.



Así se han sustituido dos términos de 4 variables cada uno por un término de tres variables.

Queremos describir el minterm 7

  1. No está agrupado por el corchete ''A'', por lo que ''A'' aparecerá completada.
  2. Está agrupado en el corchete ''B'', por lo que ''B'' aparecerá sin completar.
  3. Está agrupado dentro del corchete ''C'', por lo que ''C'' aparecerá sin completar.
  4. Está agrupado dentro del corchete ''D'', por lo que ''D'' aparecerá sin completar.

Cómo describir un par, veamos el par 15,11:

174



  1. Ambos están en el corchete ''A'', por lo cual aparece sin completar.
  2. Uno está en ''B'' y el otro en '' B̅'' por lo tanto la ''B'' se anula.
  3. Ambos están en el corchete '''C'', por lo cual aparece sin completar.
  4. Ambos están en el corchete ''D'', por lo cual aparece sin completar.

Cómo describir el par(0,4):

  1. Ninguno está en la ''A'', por lo cual aparecerá negada ''A̅’''.
  2. Uno está en ''B'' y el otro en ''B̅'' por lo tanto la ''B'' se anula.
  3. No está en la ''C'', por lo cual aparecerá negada ''C̅''.
  4. No está en la ''D'', por lo cual aparecerá negada ''D̅''.

Adyacentes lógicas adicionales

Hemos señalado que los minterms que son vecinos geométricamente en un diagrama de Karnaugh también son vecinos lógicamente.

Como puede verse fácilmente cada compartimiento de más a la derecha es adyacente con el de más a la izquierda.

Vamos a describir la adyacencia del compartimiento del ''0'' y ''8''

m0 = A̅ ∙ B̅ ∙ C̅ ∙ D̅

m8 = A̅ ∙ B̅ ∙ C̅ ∙ D̅ = B̅ ∙ C̅ ∙ D̅

175



  1. Una está en ''A'' y el otro no, por lo tanto ''A'' se anula.
  2. Ninguno de los dos está en la ''B'', por lo tanto será ''B̅''.
  3. Ninguno de los dos está en la ''C'', por lo tanto será ''C̅''.

Funciones de dos variables lógicas

Consideremos una función y la función AND

Z = A and B     Z = A ∙ B     Z = AB

La función AND frecuentemente se conoce como producto lógico de AB y tiene como propiedades:

  1. Conmutativa: si se altera el orden de AB, Z no cambia.
  2. Z = A ∙ B = B ∙ A

  3. Asociativa. Supongamos que tenemos tres variables lógicas A·B·C. Primero formamos el producto lógico. A·B. Como el producto es una variable lógica con C, obteniendo (A·B)·C, también se puede hacer de atrás hacia adelante.
  4. Z = (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C)

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Hacer el ejemplo de que una función AND sea asociativa.

Consideremos el diagrama de Karnaugh.

177



Observemos el esquema de la función:

Podríamos expresar la función como:

178

Agrupaciones mayores en un diagrama de Karnaugh

De forma similar 2n compartimientos adjuntos pueden combinarse para obtener un término más sencillo.

2,4,8,16


Ahora observemos las agrupaciones típicas de cuatro y ocho compartimientos.

179

Ejemplos

Notas

  1. El número de compartimientos de un diagrama de Karnaugh es susceptible de agruparse es una potencia de 2.
  2. 20 = 1          21 = 2          22 = 4          23 = 8

  3. No podemos agrupar tres compartimientos, aunque sean adyacentes.

Diagramas de Karnaugh par 5 variables

Para A = 0

182

Para A = 1

USO DE DIAGRAMAS DE KARNAUGH

Cuando una función lógica se ha expresado en forma estándar por medio de sus minterms, o maxterms, el diagrama de Karnaugh puede utilizarse para simplificar la función aplicando los siguientes principios:

  1. La agrupación de compartimientos debe hacerse de forma tal que cada una esté incluida como mínimo una vez. Un compartimiento particular puede aparecer en distintas agrupaciones.
  2. Las agrupaciones deben seleccionarse de forma que comprendan el mayor número de compartimientos con el fin de incluirlos en el mínimo de agrupaciones posibles.



Algoritmo para obtener la expresión mínima de una función lógica

  1. Se señalan aquellos compartimientos que no puedan combinarse con otros.
  2. Señalamos los compartimientos que puedan agruparse con otro solo de una manera. Señalamos esos compartimientos de 2. Los compartimientos que pueden agruparse de más de una forma se omiten.
  3. Señalamos los compartimientos que pueden agruparse en 4 solo de una manera. Si alguno de los compartimientos esta sin incluir, señalamos el grupo número 4. Se omiten los compartimientos que pueden combinarse en grupos de 4 de más de una manera.
  4. Repetir el paso anterior con grupos de 8.
  5. Si aún quedan compartimientos sin agrupar pueden combinarse con otros, ya agrupados o no, arbitrariamente tratando de incluirlo en el menor número posible de grupos.

Una función de cuatro variables se puede expresar por:

De acuerdo al algoritmo de los cinco puntos descritos para obtener la expresión mínima de una función lógica podemos representar esa función de cuatro variables mediante el siguiente diagrama de Karnaugh:

184




Simplificar la función utilizando diagramas de Karnaugh. Sabiendo que una función de tres variables se puede expresar por:

185

Simplificar la función utilizando diagramas de Karnaugh. Sabiendo que una función de tres variables se puede expresar por:

186




Simplificar la función utilizando diagramas de Karnaugh. Sabiendo que una función de cuatro variables se puede expresar por:

187




Simplificar la función utilizando diagramas de Karnaugh. Sabiendo que una función de tres variables se puede expresar por:

188




Simplificar la función utilizando diagramas de Karnaugh. Sabiendo que una función de cinco variables se puede expresar por:

Para A = 0

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Para A = 1

Correspondencia cuando la función no se expresa en minterms

Si una función no está expresada en minterms o maxterms no es necesario desarrollarla en sus minterms para representarla en diagramas de Karnaugh.

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REFERENCIAS



Bibliografía



Barco Gómez, C. B., & Aristizabal Botero, W. (1998). Título Matemática digital. Santafé de Bogotá: McGraw-Hill.

Buriticá, B. (2005).Matemáticas discretas. Medellín: Universidad de Antioquia.

EQUIPO en narvaez@fenix. “Proposición lógica”. El portal de la educación Peruana. [Publicación electrónica]. Perú. Disponible desde Internet en:

JIMÉNEZ M. José Alfredo. “Lógica Matemática” [Publicación electrónica]. Monografías.com. México. Disponible desde internet en:

Johnsonbaugh,R.(1998).Matemáticas discretas. México: Iberoamérica.

KOLMAN, Bernard y C, Robert. Estructuras de Matemáticas Discretas.McGraw-Hill.1989.

LIPSCHUTZ, Seymour. Matemática para computación. McGraw-Hill. 1985.

MANO, Morris. Diseño Digital. México. Prentice-Hall. 1987

MOYA; Juan Diego. 1998. “Apuntaciones críticas de teología racional”. Revista Acta Académica, Universidad Autonoma de Centroamérica. [Publicación electrónica]. Disponible desde internet en:

Pérez Raposo, Álvaro. (2010). Lógica, conjuntos, relaciones y funciones (Vol. 12). México: Publicaciones Electrónicas Sociedad Matemática Mexicana. Obtenido de https://www.pesmm.org.mx/Serie%20Textos_archivos/T12.pdf México: UJAT/ECOSUR

Suppes. Patrick. S. Hill, S. (1968). Introducción a la Lógica Matemática . España: Reverté.

TREMBLAY, Jean Paul Tremblay. Matemáticas Discretas con aplicación a las ciencias de la computación. CECSA.

195



Uzcátegui Aylwin, C. (2011). Lógica, conjuntos y números. Mérida Venezuela: Gráficas El Portatítulo. Obtenido de https://https://n9.cl/8ls47

196