Conjuntos generados
Ejercicios resueltos






Conjuntos generados en espacios vectoriales





JOHN JAIRO GARCÍA MORA








Grupo de investigación GNOMON

Línea Gestión del conocimiento y nuevas tecnologías aplicadas a la educación


Prefacio

Este documento pretende mediante ejercicios resueltos y ejercicios propuestos de que el estudiante de Álgebra Lineal calcule la norma y otros valores tomando como punto de partida las propiedades de la norma de espacios con producto interno.

Dados los vectores $u = [3x_1, -2, 1, x_1 ]; v = [1, 2x_1, x_1, -1 ]$, determinar el valor entero de la variable $x_1$ para que se cumpla la ecuación $||u - 2v|| = 5\sqrt{5}$. Luego normalizar el vector obtenido por la diferencia

NOTA. El resultado de la variable $a$ debe ser exacto, no puede contener valores decimales aproximados.

A. Obtener el valor de $2v$

$$ 2v = 2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2x_1 \\ x_1 \\ -1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4x_1 \\ 2x_1 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$$

B. Obtener el resultado de la diferencia $u - 2v$

$$ \begin{bmatrix} 3x_1 \\ -2 \\ 1 \\ x_1 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ 4x_1 \\ 2x_1 \\ -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x_1-2 \\ -2-4x_1 \\ 1-2x_1 \\ x_1 + 2 \\ \end{bmatrix}$$

C. Expresar y solucionar la ecuación $||u - 2v|| = 5\sqrt{5}$

$$\sqrt{(3x_1-2)^2 + (-2-4x_1)^2 + (1-2x_1)^2 + (x_1+2)^2} = 5\sqrt{5}$$

Expandiendo los binomios al interior del radical y simplificando:

$$\sqrt{30x_1^2 + 4x_1 + 13} = 5\sqrt{5}$$

Elevando al cuadrado en ambos miembros de la igualdad:

$$30x_1^2 + 4x_1 + 13 = 125$$

Reuniendo y simplificando términos semejantes:

$$30x_1^2 + 4x_1 - 112 = 0$$

Aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado con $a = 30, b = 4, c = -112$:

$$x_1 = \frac{-(4)\pm \sqrt{(4)^2 - 4 (30) (-112)}}{2(30)}$$ $$x_1 = \frac{-(4)\pm \sqrt{16 + 13440}}{60} = \frac{-(4)\pm 116}{60}$$ $$x_1 = \frac{-(4) + 116 }{60} = \frac{28}{15} \space \space \space \space \space \space \lor \space \space \space \space \space \space x_1 = \frac{-(4) - 116}{60} = -2 $$ $$ u - 2v = \begin{bmatrix} 3x_1-2 \\ -2-4x_1 \\ 1-2x_1 \\ x_1 + 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3(-2)-2 \\ -2-4(-2)) \\ 1-2(-2)) \\ (-2)) + 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ 6 \\ 5 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$

D. Coordenadas del vector unitario en la dirección del vector resultante de $u - 2v$

$$ = \frac{1}{5 \sqrt{5}} \begin{bmatrix} -8 \\ 6 \\ 5 \\ 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{8}{5 \sqrt{5}} \\ \\ \frac{6}{5 \sqrt{5}} \\ \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \\\\ 0 \\ \end{bmatrix} \space \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$

Nos piden determinar el módulo de la diferncia entre los vectores $u$ y $v$, para ello nos proporcionan los siguietes datos: $$||u|| = 6 \space \space \space ||v|| = 7 \space \space \space \theta = \frac{2 \pi}{3} \space (Ángulo \space entre \space u \space y \space v)$$

Para solucionar este ejercicio no necesariamente tendremos que recurrir a las propiedades del producto punto, con nuestros conocimientos básicos de los triángulos podemos solucionarlo, veamos su grafica:

Dado que poseemos la norma de los dos vectores y el valor del ángulo entre ellos podemos recurrir directamente a la aplicación de la denominada ley del coseno sin recurrir a la desigualdad triangular:

$$||u - v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 - 2 ||u|| \space ||v|| \space Cos \theta $$ $$||u - v||^2 = |6|^2 + |7|^2 - 2 |6| \space |7| \space Cos \frac{2 \space \pi}{3} $$ $$||u - v||^2 = 36 + 49 - 84 \bigg (-\frac{1}{2} \bigg) $$ $$||u - v||^2 = 127 \space \space \space \space \Rarr \space \space \space \space ||u - v|| = \sqrt{127} \space \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$

Dados tres vectores $u$, $v$ y $w$, nos piden determinar el ángulo entre los vectores $v$ y $w$ al que denominaremos $\phi$. Para ello nos proporcionan los siguientes datos: $$||u|| = ||w|| = 8 \space \space \space \space ||v|| = 2 \space \space \space \space ||u - v + w|| = ||u + v + w|| \space \space \space \space \theta_{uv} = \frac{\pi}{4}$$

A. Aplicamos la definición de producto punto entre dos vectores

$$\tag{1} u \cdot v = ||u|| \space ||v|| \space Cos \bigg ( \frac{\pi}{4}\bigg ) = 16 \bigg ( \frac{\sqrt{2}}{2}\bigg ) = 8 \space \sqrt{2}$$ $$\tag{2} v \cdot w = ||v|| \space ||w|| \space Cos ( \phi ) = 16 \space Cos ( \phi )$$

B. Establecemos la relación entre el producto punto $u \cdot v$ con el producto punto $v \cdot w$ apoyándonos en las propiedades

Apliquemos las propiedades de la norma a la tercera condición en su miembro izquierdo:

$$||u - v + w||^2 = (u - v + w) \cdot (u - v + w)$$ $$ = u \cdot u - u \cdot v + u \cdot w - v \cdot u + v \cdot v - v \cdot w + w \cdot u -v \cdot w +w \cdot w $$ $$||u - v + w||^2 = u\cdot u - 2(u\cdot v) + 2 (u \cdot w) - 2 (v \cdot w) + v \cdot v + w \cdot w$$ $$||u - v + w||^2 = ||u||^2 - 2(u\cdot v) + 2 (u \cdot w) - 2 (v \cdot w) + ||v||^2 + ||w||^2$$

Ahora realizamos exactamente la misma operación con el miembro de la derecha de la tercera condición:

$$||u + v + w||^2 = (u + v + w) \cdot (u + v + w)$$ $$ = u \cdot u + u \cdot v + u \cdot w + v \cdot u + v \cdot v + v \cdot w + w \cdot u -v \cdot w +w \cdot w $$ $$||u + v + w||^2 = u\cdot u + 2(u\cdot v) + 2 (u \cdot w) + 2 (v \cdot w) + v \cdot v + w \cdot w$$ $$||u + v + w||^2 = ||u||^2 + 2(u\cdot v) + 2 (u \cdot w) + 2 (v \cdot w) + ||v||^2 + ||w||^2$$

Ahora igualamos ambas resultados

$$ - 2(u\cdot v) - 2 (v \cdot w) = 2(u\cdot v) + 2 (v \cdot w) $$ $$ 4(u\cdot v) + 4(v \cdot w) = 0 $$

Sacando 4 como factor común obtenemos que:

$$\tag{3} (u\cdot v) = - (v \cdot w) $$

Pero sabemos de (1) que:

$$(u \cdot v ) = 8 \space \sqrt{2}$$

También sabemos según (2) que:

$$(v \cdot w ) = 16 \space Cos \space \phi \space \space \space \space \therefore \space \space \space \space - (v \cdot w )= - 16 \space Cos \space \phi$$

Ahora igualamos en la expresión (3):

$$8 \space \sqrt{2} = - 16 \space Cos \space \phi \space \space \space \space \therefore \space \space \space \space - \frac{8 \space \sqrt{2}}{ \space 16} = Cos \space \phi$$ $$ \phi = Cos^{-1} \space \bigg(- \frac{\sqrt{2}}{2} \bigg) = \frac{3 \space \pi}{4} \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$

Determinar las coordenadas del vector de $||v|| = 7 \sqrt{3}$ que conserva la misma dirección del vector $\vec{k} = \begin{bmatrix} -1 \\ 7 \\ 5 \\ \end{bmatrix} $

A. Determinar la norma del vector $ \vec{k} $ que permita hallar el vector unitario en su misma dirección:

$$||k|| = \sqrt{(-1)^2 + (7)^2 + (5)^2} = \sqrt{75} = 5 \space \sqrt{3} $$ $$\vec{k}_{unitario} = \frac{1}{5 \space \sqrt{3}} \begin{bmatrix} -1 \\ 7 \\ 5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{5 \space \sqrt{3}} \\ \\ \frac{7}{5 \space \sqrt{3}} \\ \\ \frac{1}{\space \sqrt{3}} \\ \end{bmatrix}$$

B. Como el vector resultante tiene longitud 1, podemos multiplicar por la norma de $ \vec{k} $

$$ = 7 \sqrt{3} \begin{bmatrix} -\frac{1}{5 \space \sqrt{3}} \\ \\ \frac{7}{5 \space \sqrt{3}} \\ \\ \frac{1}{\space \sqrt{3}} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{5} \\ \\ \frac{49}{5} \\ \\ 7 \\ \end{bmatrix} \space \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$

Vamos a calcular la Norma de la matriz $ A = \begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix} $, para ello requerimos recordar los siguientes elementos:

  1. La traza de una matriz (tr) es la suma de los elementos de la diagonal principal.
  2. El producto interno de una matriz 2 x 2 se determina mediante: $ \langle A, A\rangle = tr \bigg( A^T \space A \bigg )$

Solución:

$$||A|| = \sqrt{tr\bigg( A^T \space A\bigg)}$$ $$||A|| = \sqrt{tr\bigg( \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 4 & 3 \\ \end{bmatrix} \space \begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\bigg)} $$ $$||A|| = \sqrt{tr\bigg( \begin{bmatrix} 8 & -2 \\ -2 & 25 \\ \end{bmatrix} \bigg)}$$ $$||A|| = \sqrt{8 + 25} = \sqrt{33} \space \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$

Esto hubiese sido lo mismo si aplicamos:

$$\langle A, A\rangle = (a_{11})^2 + (a_{21})^2 + (a_{12})^2 + (a_{22})^2 $$ $$||A||^2 = (a_{11})^2 + (a_{21})^2 + (a_{12})^2 + (a_{22})^2 $$ $$||A||^2 = (-2)^2 + (2)^2 + (4)^2 + (3)^2 = 4 + 4 + 16 + 9 = 33 $$ $$||A|| = \sqrt{33 }$$

Dadas las matrices $A$ y $B$ vamos a calcular la norma de cada una de ellas, la distancia entre ambas, su producto interno y el ángulo que forman expresado en radianes. $$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 3\\ 1 & 5 & 1\\ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix} \space \space \space \space \space B = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0\\ 1 & -3 & 2\\ 3 & 3 & 0 \end{bmatrix}$$

A. Calculemos la norma de las matrices A y B

Calculemos $||A||^2$

$$ ||A||^2 = (2)^2 + (-2)^2 + (3)^2 + (1)^2 + (5)^2 + (1)^2 + (3)^2 + (4)^2 $$ $$ ||A||^2 = 69 \space \space\space \space \therefore \space \space\space \space ||A|| = \sqrt{69} \space \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$

Calculemos $||B||^2$

$$ ||B||^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (1)^2 + (-3)^2 + (2)^2 + (3)^2 + (3)^2 $$ $$ ||B||^2 = 37 \space \space\space \space \therefore \space \space\space \space ||B|| = \sqrt{37} \space \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$

B. Calculemos la distancia entre las matrices A y B

Recordando que esa distancia es $d (A B) = ||A - B||$

$$A-B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 0 & 8 & -1\\ -3 & 0 & 4 \end{bmatrix}$$

Tomando como punto de partida la expresión: $$||A - B||^2 = \langle A - B, A - B \rangle $$ $$||A - B||^2 = (1)^2 + (3)^2 + (8)^2 + (-1)^2 + (-3)^2 + (4)^2 $$ $$||A - B||^2 = 100 $$ $$||A - B|| = \sqrt{100}= 10 \space \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$

C. Producto interno entre las matrices A y B

$$A \cdot B = (2)(1) + (-2)(-2) + (3)(0) + (1)(1) + (5)(-3)$$ $$ + (1)(2) + (0)(3) + (3)(3) + (4)(0)$$ $$A \cdot B = 3 \space \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$

D. El ángulo entre las matrices A y B

$$Cos \space \theta = \frac{3}{\sqrt{69} \space \sqrt{37}} = \frac{3}{\sqrt{2553}}$$ $$\theta = Cos^{-1} \space \bigg (\frac{3}{\sqrt{2553}} \bigg ) \approxeq 1.511 \space Rad. \space \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$

Vamos a determinar el vector unitario de la función $f(t)$ y de la función $g(t)$, sabiendo que:

  1. Sea F el espacio vectorial de funciones reales donde el producto interno está definido por:
  2. Las funciones son: $$f(t) = t - 2 \space \space \space \space \space \space g(t) = t^2$$

A. Calculemos la norma de $f(t)$

$$||t - 2|| = \sqrt{ \int_0^{1} (t - 2) (t - 2) \mathrm{} dt}$$ $$||t - 2|| = \sqrt{ \int_0^{1} (t^2 - 2t + 4) \mathrm{} dt}$$

Calculemos el radicando: La integral $$\int_0^{1} (t^2 - 2t + 4) \mathrm{} dt$$

$$\bigg[\frac{t^3}{3} - 2 \frac{t^2}{2} + 4 t\bigg]_{0}^{1} = \bigg[\frac{t^3}{3} - t^2 + 4 t\bigg]_{0}^{1}$$


$$\bigg[\frac{t^3}{3} - t^2 + 4 t\bigg]_{}^{1} - \bigg[\frac{t^3}{3} - t^2 + 4 t\bigg]_{0}^{}$$ $$\bigg[\frac{1^3}{3} - (1)^2 + 4 (1)\bigg] - \bigg[\frac{0^3}{3} - (0)^2 + 4 (0)\bigg] = \frac{10}{3} $$ $$||t - 2|| = \sqrt{\frac{10}{3} } = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} \space \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$

B. Calculemos la norma de $g(t)$

$$||t ^ 2|| = \sqrt{ \int_0^{1} (t ^ 2) (t ^ 2) \mathrm{} dt}$$ $$||t ^ 2|| = \sqrt{ \int_0^{1} (t^4) \mathrm{} dt}$$

Calculemos el radicando: La integral $$\int_0^{1} (t^4) \mathrm{} dt$$

$$\bigg[\frac{t^5}{5}\bigg]_{0}^{1} = \bigg[\frac{t^5}{5}\bigg]_{}^{1} - \bigg[\frac{t^5}{5}\bigg]_{0}^{} = \frac{1}{5}$$ $$||t ^ 2|| = \sqrt{\frac{1}{5} } = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}} \space \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$

C. Normalizar la función $f(t)$

$$(t - 2)_{unitario} = \frac{t - 2}{||t - 2||} = \frac{t - 2}{\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}} = \frac {\sqrt{3} \space (t - 2)}{\sqrt{10}}$$ $$(t - 2)_{unitario} = \sqrt{\frac {3}{10}} \space t - 2 \space \sqrt{\frac {3}{10}} \space \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$

C. Normalizar la función $g(t)$

$$(t ^ 2)_{unitario} = \frac{t ^ 2}{||t ^ 2||} = \frac{t ^ 2}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}} = \frac {\sqrt{5} \space (t ^ 2)}{\sqrt{1}}$$ $$(t ^ 2)_{unitario} = \sqrt{5} \space t ^ 2 \space \space \textcolor{blue} {\mathcal{/Respuesta}}$$




Bibliografía

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