JOHN JAIRO GARCÍA MORA
Departamento de Mecatronica y Electromecánica
Facultad de Ingenierías
INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO
Medellín
2019
Título de la obra:
Técnicas de integración
Autor:
John Jairo García Mora
Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono
Fórmulas matemáticas: $\KaTeX$
DATOS DE LA EDICIÓN
LICENCIA
Normalmente encontrar antiderivadas resulta más difícil que encontrar derivadas. Por ello, debemos familiarizarnos con algunas técnicas para determinar el conjunto de todas las antiderivadas de una función $f$, lo que se denomina integral indefinida de $f$ respecto de $x$.
En la grafica podemos observar la representación de la integral indefinida en (a) y la integral definida en (B): $$(a) \thinspace \int du = u +C \thinspace \thinspace \thinspace$$ $$(b)\thinspace \int_{a}^{b} \, du = u\bigg]_a^b = F(x)\Big]_a^b$$
Debemos distinguir la ddiferencia entre las integrales definidas e indefinidas. Una integral definida es un número mientras que una integral indefinida es una función más una constante arbitraria C.
En este trabajo pretendemos que el estudiante se familiarice con las técnicas más generales para encontrar antiderivadas. Las primeras técnicas de integración que desarrollaremos se inician con la sustitución para obtener expresiones más sencillas y luego trabajaremos algunas integrales que se obtienen al invertir las reglas para encontrar derivadas, como la regla de las potencias y la regla de la cadena.
Una gran cantidad de integrales en el curso básico de Cálculo Integral pueden evaluarse al ejecutar operaciones específicas sobre el integrando y reducir una integral dada a una o más de las formas familiares en la tabla que aparece a continuación.
En el transcurso de nuestro trabajo se darán a conocer algunas otras integrales empleadas en las técnicas que iniciaremos en el capítulo I.
Veamos el significado de una función compuesta dadas las funciones $f(x)$ y $g(x)$: $$f(x)=x^5 \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace; \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace g(x)= 3x^2-x+3$$ $$(g \circ f)' (x) = (3x^2-x+3)^5$$
El método de integración por sustitución o cambio de variable tiene como origen la regla de la cadena descrita en el curso de Cálculo Diferencial: $$(g \circ f)' (x)=g'[f(x)]f'(x = \frac {dy}{du} \cdot \frac {du}{dx}$$
Sea $u = g(x)$ una función diferenciable cuyo rango es un intervalo $I$ , y sea $f$ una función definida en $I$ y $F$ una primitiva de $f$ en $I$. Entonces: $$ \int f [g(x)]g'(x)dx = \int f(u) \thinspace du = F(u) + C = F[g(x)] + C $$
Determinar la expresión de la integral indefinida: $$ \int \frac {x-5}{\sqrt[3]{x-3}}dx$$ $u = x - 3$ $\implies$ $u + 3 = x $ $\implies$ $\frac {du}{dx} = 1$ $$\int \frac {(u+3)-5}{\sqrt[3]{u}}du \implies \int \frac {u-2}{\sqrt[3]{u}}du \implies \int \frac {u-2}{u^{1/3}}du$$ $$ \int (u-2)u^{-1/3} du \implies \int u^{2/3} du - 2 \int u^{-1/3} du$$
Aplicando la integral 4 de la página 6 tenemos: $$ \frac {u^{\frac {2}{3}+1}}{\frac {2}{3}+1}+ C_1 - 2 \thinspace \frac {u^{\frac {-1}{3}+1}}{\frac {-1}{3}+1} + C_2$$ $$ \frac {u^{\frac {5}{3}}}{\frac {5}{3}} - 2 \thinspace \frac {u^{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}} + C \implies \frac {3 \thinspace \sqrt[3]{u^5}}{5} - 3 \thinspace \sqrt[3]{u^2} + C$$ $$\frac {3 \thinspace u \thinspace \sqrt[3]{u^2}}{5} - 3 \thinspace \sqrt[3]{u^2} + C \implies \Big[3 \thinspace \sqrt[3]{u^2}\Big] \Big[\frac {u}{5}-1\Big] + C$$ $$\color{#0000FF} \Big[3 \thinspace \sqrt[3]{(x-3)^2}\Big] \Big[\frac {x-3}{5}-1\Big] + C$$
En los ejercicios que incluyen funciones trigonometricas en las cuales el ángulo es una expresión compuesta, lo ideal es sustituir el ángulo. Veamos el siguiente ejemplo:
Recordemos que: $$f(u) = Sen(u) \implies f'(u) = u' \thinspace Cos (u)$$ $$ \int Sen \bigg(\frac{\pi \thinspace \theta}{2} \bigg)\thinspace Cos \bigg(\frac{\pi \thinspace \theta}{2} \bigg) d \theta$$ $$u = \bigg(\frac{\pi \thinspace \theta}{2} \bigg) \implies du = \bigg(\frac{\pi }{2} \bigg)d \theta \implies \bigg(\frac{2}{\pi} \bigg) du = d \theta$$
Reescribiendo: $$\bigg(\frac{2}{\pi} \bigg) \int Sen(u) \thinspace Cos (u) \thinspace du$$
Aplicando una nueva sustitución se tiene: $$z = Sen \space u \implies \frac {dz}{du} = Cos \space u \implies \frac {dz}{Cos \space u} = du$$
Reemplazando tenemos: $$\frac {2}{\pi} \int z \space Cos \space u \bigg (\frac {dz}{Cos \space u} \bigg )= \frac {2}{\pi} \int z \, dz$$ $$= \frac {z^2}{2}+C \implies = \frac {Sen^2 \space u}{2}+C \implies = \frac {Sen^2 \space \bigg(\frac {\pi \space \theta}{2} \bigg)}{2}+C$$
Evaluar la integral definida: $$\int_{1}^{2} \frac {1}{(3-5x)^2} \, dx$$
Hallemos la primitiva de la expresión: $$u=3-5x\implies \frac {du}{dx}=-5 \implies \frac {du}{-5}=dx$$ $$\int \frac {1}{u^2} \bigg ( \frac {du}{-5} \bigg ) \implies -\frac {1}{5} \int u^{-2} \, du = \bigg (-\frac {1}{5} \bigg ) \bigg ( \frac {u^{-2+1}}{-2+1} \bigg )=\frac {1}{5\space u}$$
Ahora podemos ejecutar uns de dos acciones posibles:
Evaluar la integral definida: $$\int_{0}^{\frac {\pi}{2}} Cos \space (x) \space Sen \space (Sen \space (x)) \, dx$$ $$u= Sen \space (x)\implies \frac {du}{dx} = Cos \space (x) \implies \frac {du}{Cos \space (x)}= dx$$
Ahora los nuevos límites de integración: $$u = Sen \space \bigg (\frac {\pi}{2}\bigg )= 1 \quad \quad u = Sen \space \bigg (0 \bigg )= 0$$
Reescribimos la integral: $$\int_{0}^{1} Cos \space (x) \space \frac {Sen \space (u)}{Cos \space (x)} \, du = \int_{0}^{1} Sen \space u \, du=$$ $$- Cos \space u \space \bigg |_{0}^{1}= \bigg [- Cos \space u \space \bigg |_{}^{1} \bigg ] - \bigg [ - Cos \space u \space \bigg |_{0}^{} \bigg ]=$$ $$\bigg [- Cos \space (1) \bigg ] + \bigg [ Cos (0) \bigg ]\approxeq \bigg [0.540302...+1 \bigg ]\approxeq 0.459697...$$
Evaluar la integral definida: $$\int_{1}^{4} \frac {e^{\sqrt x}}{\sqrt x} \, dx$$
Deashacemos el cambio de variable: $$2 \space \bigg [ e^{\sqrt x} \bigg ] \bigg |_{1}^{4}= 2 \space \bigg [e^{\sqrt 4}-e^{\sqrt 1} \bigg ]=2 \space [e^2-e \bigg ]\approxeq 9.341548...$$
Esta técnica tiene como origen la regla del producto para derivadas. $$\int f(x) \sdot g'(x)\, dx = f(x) \sdot g(x) - \int g(x) \sdot f'(x)\, dx$$
Normalmente se emplean diferenciales para describir la técnica de integración por partes: $$f(x) = u \quad f'(x) \space dx = du \quad g'(x) \space dx = dv \quad g(x) = v $$
Debido a esta sustitución la intgración por partes está definida´por: $$\int u \sdot dv = u \sdot v - \int v \sdot dv$$
El problema a sortear es elegir cuál de las dos funciones es u, para ello se recomienda emplear el siguiente acrónimo denominado LIATE:
Se busca que $u$ sea una función fácil de derivar y $dv$ una función fácil de integrar:
Integrar la expresión: $$\int x^2 \space Cos \space (3 \space x) \,dx$$
En este punto observamos que existe otra integral que debemos resolver empleando la misma técnica: $$- \frac {2}{3} \int x \space Sen \space (3x)\, dx$$ $$\begin{cases} \space u = x \\ du = dx \end{cases} \quad \begin{cases} \space dv = Sen \space (3 \space x) \,dx \\ v = - \frac {Cos \space (3 \space x)}{3} \end{cases}$$ $$- \frac {2}{3} \int x \space Sen \space (3x)\, dx = - \frac {2}{3} \bigg [- \frac {x \space Cos \space (3x)}{3} + \frac {1}{3} \int Cos \space (3x)\, dx \bigg ]$$ $$- \frac {2}{3} \int x \space Sen \space (3x)\, dx = - \frac {2}{3} \bigg [- \frac {x \space Cos \space (3x)}{3} + \frac {Sen \space (3x)}{9} + C \bigg ]$$ $$- \frac {2}{3} \int x \space Sen \space (3x)\, dx = \bigg [\frac {x \space Cos \space (3x)}{9} - \frac {Sen \space (3x)}{27} + C \bigg ]$$
El resutado es entonces: $$\int x^2 \space Cos \space (3 \space x) \,dx=\frac {x^2 \space Sen \space (3x)}{3} + \frac {x \space Cos \space (3x)}{9} - \frac {Sen \space (3x)}{27} + C$$
Integrar la expresión: $$\int \frac {x^2 + 1}{e^x} \,dx$$
De nuevo aplicamos la técnica: $$\begin{cases} \space u = x \\ du = dx \end{cases} \quad \begin{cases} \space dv = e^{-x} \,dx \\ v = - e^{-x} \end{cases}$$ $$\int x\space e^{-x}\, dx = -x \space e^{-x} + \int e^{-x} \, dx$$ $$\int x\space e^{-x}\, dx = -x \space e^{-x} - e^{-x} + C $$
El resultado es entonces: $$\int \frac {x^2 + 1}{e^x} \,dx = (x^2 + 1)(-e^{-x}) + 2 \bigg [ -x \space e^{-x} - e^{-x}\bigg ] + C$$ $$\int \frac {x^2 + 1}{e^x} \,dx = - \frac {(x^2 + 1)}{e^x} - \frac {2x}{e^x} - \frac {2}{e^x}+ C$$ $$\int \frac {x^2 + 1}{e^x} \,dx = - \frac {(x^2 + 1) + 2x + 2}{e^x}+ C$$ $$\int \frac {x^2 + 1}{e^x} \,dx = - \frac {x^2 + 2x + 3}{e^x} + C $$
Integrar la expresión: $$\int Sec^3 \space (x) \,dx$$
Observamos que aparece una integral igual a la integral original, por lo tanto: $$2 \space \int Sec^3 \space (x) \,dx = Sec \space (x) \space Tan \space (x) + \int Sec \space (x) \bigg) \, dx$$
Aplica la función de valor absoluto a los argumentos de funciones logarítmicas con el fin de extender el domino de la antiderivada, por lo tanto: $$\int Sec^3 \space (x) \,dx = \frac {Sec \space (x) \space Tan \space (x) - ln (|Tan \space (x) + Sec \space (x)|)}{2} +C$$
Integrar la expresión: $$\int x \space \sqrt {1+x} \,dx$$ $$\begin{cases} \space u = x \\ du = dx \end{cases} \quad \begin{cases} \space dv = \sqrt {1+x} \,\space dx \\ v = \frac {2 \space \sqrt {(1+x)^3}}{3} \end{cases}$$
Cuando el integrando posee una expresión algebraica la cual mediante derivadas sucesivas se llega al momento donde esa derivada es igual a CERO se procede como aparece en el siguiente vídeo:
Permiten simplificar el cálculo cuando es necesario aplicar la integración por partes varias veces consecutivas, una fórmula de este tipo da lugar a una integral de la misma forma que la integral original pero con un exponente que puede ser mayor o puede ser menor.
Las fórmulas de reducción más empleadas son:
$m$ diferente de $1$
$m$ diferente de $\space -\frac {1}{2}$
Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Para su resolución desde luego que son válidos los teoremas de integración.
En lo general se deben aplicar las siguientes sugerencias:
Resolver la integral indefinida: $$\int Sen \space (Sen \space (8x)) \space Cos \space (8x)dx\, $$ $$u = Sen \space (8x) \longrightarrow \frac{du}{dx} = 8 \space Cos \thinspace (8x) \implies \frac{du}{8 \space Cos \space (8x) } = dx$$ $$\int Sen \space (u) \space \xcancel {Cos \space (8x)}\frac{du}{8 \space \xcancel {Cos \space (8x)} } \implies \frac{1}{8} \space \int Sen \space (u) du\,\,$$ $$= - \frac{Cos \space (u)}{8} + C \implies - \frac{Cos \space (Sin \space (8x))}{8} + C$$
Escribir $n = 2k + 1$ y separar un factor Coseno y emplear la identidad:
Escribir $n = 2k + 1$ y separar un factor Seno y emplear la identidad: $$Sen^2 \space (x) = 1 - Cos^2 \space (x)$$
Emplear las identidades del ángulo medio: $$Sen^2 \space = \frac{1-Cos \thinspace(2x)}{2} \space \space ; \space \space Cos^2 \space = \frac{1+Cos \space(2x)}{2}$$
Resolver la integral: $$\int Sen^2 \space (x) \space \space Cos^3 \space (x) \space dx\,$$ $$\int Sen^2 \space (x) \space \space \color {red} Cos^2 \space (x) \space \color {black} Cos \space (x) \space dx\,$$ $$\int Sen^2 \space (x) \space \space \color {red} (1 - Sen^2 \space (x) )\space \color {black} Cos \space (x) \space dx\,$$ $$u = Sen \space (x) \implies \frac {du}{dx} = Cos \space (x) \implies \frac {du}{Cos \space (x)} = dx$$ $$\int Sen^2 \space (x) \space \space \color {red} (1 - Sen^2 \space (x) )\space \color {black} Cos \space (x) \space \frac {du}{Cos \space (x)}\, \implies$$
Resolver la integral: $$\int Sen^3 \space (x) \space \space Cos^6 \space (x) \space dx\,$$ $$\int Sen \space (x) \space \space \color {red} Sen^2 \space (x) \space \color {black} Cos^6 \space (x) \space dx\,$$ $$\int Sen \space (x) \space \space \color {red} (1 - Cos^2 \space (x) )\space \color {black} Cos^6 \space (x) \space dx\,$$ $$u = Cos \space (x) \implies \frac {du}{dx} = -Sen \space (x) \implies \frac {du}{- Sen \space (x)} = dx$$ $$\int Sen \space (x) \space \space \color {red} (1 - u^2)\space \color {black} u^6 \space \frac {du}{- Sen \space (x)} \implies$$ $$- \space \int (1 - u^2)\space u^6 \space du = - \space \int (u^6 - u^8)\space du = - \space \frac {u^7}{7} + \frac {u^8}{8}+C$$ $$= - \space \frac {Cos^7 \space (x)}{7} + \frac {Cos^8 \space (x)}{8}+C$$
Calculemos la integral indefinida: $$\int Sen^5 \space (x) \space dx = \int \bigg (Sen^2 \space (x) \bigg)^2 \space Sen \space (x) \space dx $$ $$\int \bigg (1- Cos^2 \space (x) \bigg)^2 \space Sen \space (x) \space dx = $$ $$\int \bigg (1- 2 \space Cos^2 \space (x) + Cos^4 \space (x)\bigg) \space Sen \space (x) \space dx = $$ $$u = Cos \space (x) \implies \frac {du}{dx} = - Sen \space (x) \implies \frac {du}{- Sen \space (x)} = dx$$ $$\int - \bigg (1- 2 \space u^2 + \space u^4 \bigg) \space \xcancel {Sen \space (x)} \space \frac {du}{\xcancel {Sen \space (x)}} = $$ $$\int \bigg (-1 + 2 \space u^2 + u^4 \bigg) \space du = - u + 2 \space \frac {u^3}{3} - \frac {u^5}{5} + C$$ $$ - Cos \space (x) + 2 \space \frac {Cos^3 \space (x)}{3} - \frac {Cos^5 \space (x)}{5} + C$$
Calculemos la integral indefinida: $$\int Sen^2 \space (x) \space Cos^4 \space (x) \space dx$$
Para potencias pares de senos y cosenos en ocasiones es útil la identidad del ángulo doble: $Sen \space (2x) = 2 \space Sen \space (x) \space Cos \space (x)$ , para el coseno es: $Cos \space (2x) = Cos^2 \space (x) - Sen^2 \space (x)$ $$\int \bigg (\frac {1 - Cos \space (2x)}{2} \bigg) \bigg (\frac {1 + Cos \space (2x)}{2} \bigg)^2 \space dx = $$ $$\int \frac {1}{2} \bigg (1 - Cos \space (2x) \bigg) \space \frac {1}{4} \bigg (1 + Cos \space (2x) \bigg)^2 \space dx = $$ $$\frac {1}{8} \int \bigg (1 - Cos \space (2x) \bigg)\space \bigg (1 + 2 \space Cos \space (2x) + Cos^2 \space (2x)\bigg) \space dx$$
Aplicando la multiplicación de polinomios se obtiene: $$\frac {1}{8} \int (1 + Cos \space (2x) - Cos^2 \space (2x) - Cos^3 \space (2x)) \space dx =$$ $$\frac {1}{8} \bigg [\int dx + \int Cos \space (2x) \space dx - \int Cos^2 \space (2x) \space dx - \int Cos^3 \space (2x) \space dx \bigg]$$
Los dos primeros términos corresponden a integrales inmediatas, entonces: $$\frac {1}{8} \bigg [ x + C_1 + \frac {1}{2} \space Sen \space (2x) + C_2 - \int Cos^2 \space (2x) \space dx - \int Cos^3 \space (2x) \space dx \bigg]$$
Concéntremos ahora en la tercera integral: $$- \int Cos^2 \space (2x) \space dx = - \frac {1}{2} \int (1 + Cos \space (4x) \space dx = $$ $$- \frac {x}{2} - \frac {Sen \space (4x)}{8} + C_3$$
Solucionemos ahora la cuarta integral: $$- \int Cos^3 \space (2x) \space dx = - \int (Cos^2 \space (2x)) \space Cos \space (2x) \space dx$$ $$ - \int (1 - Sen^2 \space (2x)) \space Cos \space (2x) \space dx$$ $$u = Sen \space (2x) \implies \frac {du}{dx} = 2 \space Cos \space (2x) \implies \frac {du}{2 \cos \space (2x)} = dx$$ $$- \int (1 - u^2)\space Cos \space (2x) \space \frac {du}{2 \space cos \space (2x)} = $$ $$- \frac{1}{2} \int (1 - u^2)\space \xcancel {Cos \space (2x)} \space \frac {du}{\space \xcancel {cos \space (2x)}} = - \frac{1}{2} \int (1 - u^2) \space du =$$ $$- \frac{1}{2} \bigg [ \int du - \int u^2 \space du \bigg] = - \frac{1}{2} \bigg [ u + C_4 - \frac {u^3}{3}+ C_5 \bigg] =$$ $$ - \frac{1}{2} \bigg [ Sen \space (2x) + C_4 - \frac {Sen^3 \space (2x)}{3}+ C_5 \bigg] =$$ $$ \bigg [ - \frac{Sen \space (2x)}{2} + C_4 + \frac {Sen^3 \space (2x)}{6}+ C_5 \bigg] =$$
Poemos expresar que $C_1 + C_2 + C_3 + C_4 + C_5 = C$ y simplificando tenemos: $$\frac {1}{8} \bigg [ x + \frac {Sen \space (2x)}{2} - \frac {x}{2} + \frac {Sen \space (4x)}{8} - \frac{Sen \space (2x)}{2} + \frac {Sen^3 \space (2x)}{6}\bigg]+C$$ $$\frac {1}{8} \bigg [ \frac {x}{2} + \frac {Sen \space (4x)}{8} + \frac {Sen^3 \space (2x)}{6}\bigg]+C$$
En estos casos se hace necesario convertir los productos en sumas mediante las identidades:
Evaluar la integral indefinida: $$\int Sen \space (3x) \space Cos \space (7x) \space dx$$ $$\int \frac {Sen \space (3x+7x) + Sen \space (3x-7x)}{2} \space dx =$$ $$\frac {1}{2}\int Sen \space (10x) + Sen \space (-4x) \space dx $$ $$u = 10x \implies \frac {du}{dx} = 10 \implies \frac {du}{10} = dx$$ $$w = -4x \implies \frac {dw}{dx} = -4 \implies \frac {dw}{-4} = dx$$ $$\frac {1}{2} \bigg[\int Sen \space u \space \frac {du}{10} + \int Cos \space w \space \frac {dw}{-4}\bigg] =$$
Al igual que en el caso anterior y que normalmente se omite: $C_1 + C_2 = C$ , es decir se expresa en el resultado. $$\frac {1}{2} \bigg[-\frac {1}{10} Cos \space (10x) - \frac {1}{4} Sen \space (-4x) \bigg] + C$$
Observemos el siguiente vídeo que nos orientará desde el teorema de Pitágoras:
Evaluar la integral indefinida: $$\int \sqrt {7 - x^2} \space dx = \int \sqrt {(\sqrt 7)^2 - x^2} \space dx$$
Acorde con lo visto en el vídeo, el triángulo a construir es:
$$Sen \space \varphi = \frac {x}{\sqrt 7} \implies x = \sqrt 7 \space Sen \space \varphi \implies x^2 = 7 \space Sen^2 \space \varphi$$ $$\frac {dx}{d \varphi} = \sqrt 7 \space Cos \space \varphi \implies dx = \sqrt 7 \space Cos \space \varphi \space d\varphi$$
Reemplazando se obtiene: $$\int \sqrt {7 - (7 \space Sen^2 \space \varphi)} \space \sqrt 7 \space Cos \space \varphi \space d\varphi =$$ $$\sqrt 7 \int \sqrt {7 \space (1 - Sen^2 \space \varphi)} \space \space Cos \space \varphi \space d\varphi =$$
Concéntremos en la integral faltante: $$u = 2 \space \varphi \implies \frac {du}{d\varphi} = 2 \implies \frac {du}{2} = d\varphi$$ $$\int Cos \space u \space \frac {du}{2} = \frac {1}{2} \int Cos \space u \space du\implies = \frac {1}{2} \space Sen \space u$$ $$\frac {7}{2} \bigg [Sen^{-1} \varphi + \frac {1}{2} \space Sen \space(2 \space \varphi) \bigg]= $$ $$\frac {7}{2} \bigg [Sen^{-1} \space \varphi + \frac {1}{2} \space Sen \space(2 \space Sen^{-1} \space \varphi ) \bigg]= $$
Según el triángulo, $Sen \space \varphi = \bigg (\frac {x}{\sqrt 7} \bigg)$
Evaluar la integral indefinida: $$\int \sqrt {x^2 - 8} \space dx = \int \sqrt {x^2 -(\sqrt 8)^2 } \space dx$$
Acorde con lo visto en el vídeo, el triángulo a construir es:
$$Cos \space \varphi = \frac {\sqrt 8}{x} \implies x= \frac {\sqrt 8}{Cos \space \varphi} \implies x = \sqrt8 \space Sec \space \varphi \space; \space x^2 = 8 \space Sec^2 \space \varphi \space $$ $$\frac {dx}{d\varphi} = \sqrt 8 \space Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi \implies dx = \sqrt 8 \space Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi \space d\varphi$$
Ahora vamos a reemplazar estos dos últimos valores en la integral que se ha de evaluar:
Solucionemos la integral que contiene la $Sec^3 \space d\varphi$, aquí recurrimos a la integración por partes ya que: $$\int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi = \int Sec^2 \space \varphi \space Sec \space \varphi \space d\varphi$$ $$u = Sec \space \varphi \space ; \space dv = Sec^2 \space \varphi \space d\varphi$$ $$ du = Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi \space d\varphi \space ; \space v = \int Sec^2 \space \varphi \space d\varphi = Tan \space \varphi $$ $$\int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi = Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi - \int Tan \space \varphi \space Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi \space d\varphi$$
Retornemos a nuestra integral: $$8 \bigg [\int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi - \int Sec \space \varphi \space d\varphi \bigg ]=$$ $$8 \bigg [\frac {1}{2} \space Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi + \frac {1}{2} \space ln |Sec \space \varphi + Tan \space \varphi| - ln |Sec \space \varphi + Tan \space \varphi|\bigg ]+C$$ $$8 \bigg [\frac {1}{2} \space Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi - \frac {1}{2} \space ln |Sec \space \varphi + Tan \space \varphi|\bigg ]+C$$
Reemplazando con los valores del triángulo creado:
Recordemos la operación con expresiones racionales: $$\frac {4}{x+2} + \frac {3}{x-4} = \frac {4(x-4)+3(x+2)}{(x+2)\space (x-4)}= \frac {7x-10}{x^2-2x+8}$$
Ello implica que: $$\int \frac {7x-10}{x^2-2x+8}\space dx= \int \frac {4}{x+2} \space dx + \int \frac {3}{x-4} \space dx$$
Este método se puede aplicar si $f(x) = \frac {P (x)}{Q (x)} $ es una fracción propia o sea que el grado del numerador $P$ es menor que el grado del denominador $Q$. Si la fracción es impropia, se debe realizar el paso preliminar de dividir $P$ por $Q$.
Para expresiones donde el numerador y el denominador del mismo grado se utiliza el Algoritmo de Euclides (prueba de la división) para convertir la fracción en expresión mixta. Veamos un ejemplo de ello: $$\int \frac {x^2 - 8x + 1}{x^2 - 6x + 8} \space dx$$
Resolver: $$\int \frac {x^3-2x+6}{(x^2+1)\space(x-1)^2} \space dx$$ $$\int \frac {x^3-2x+6}{(x^2+1)\space(x-1)^2} \space dx =\int \bigg (\frac {Ax+B}{x^2+1} + \frac {C}{x-1} + \frac {D}{(x-1)^2} \bigg )\space dx$$ $$(Ax+B) \space (x-1)^2 + C \space (x^2+1)\space (x-1) + D \space (x^2+1)$$ $$(Ax+B) \space (x^2-2x+1) + C \space (x^3 - x^2 + x -1) + Dx^2+D$$
Vamos ahora aplicar la propiedad distributiva:
Ahora vamos a igualar los términos que posean la misma variable elevada a la misma potencia del miembro de la izquierda con los que posean esa misma variable elevada al mismo exponente del miembro de la derecha: $$\tag {1} x^3=A \space x^3 + C \space x^3 \implies 1 = A + C$$ $$ 0 \space x^2= - 2 \space A \space x^2 + B \space x^2 - C \space x^2 + D \space x^2 $$ $$\tag {2} 0 = -2 \space A + B - C + D$$ $$-2 \space x = A \space x - 2 \space B \space x + C \space x$$ $$\tag {3} -2 = A \space - 2 \space B \space + C $$ $$\tag {4} 6 = B \space - C \space + D $$
Resolviendo el sistema 4 x 4 obtenemos: $$A = 3 \space ; B = \frac {3}{2} \space ; C = - 2 \space ; D = \frac {5}{2}$$
Reemplazando obtenemos: $$3 \int \frac {x}{x^2+1} \space dx + \frac{3}{2} \int \frac {1}{x^2+1} \space dx -2 \int \frac {1}{x-1} \space dx + \frac {5}{2} \int \frac {1}{(x-1)^2} \space dx $$
Integrando individualmente las cuatro integrales inmediatas obtenemos:
El resultado es: $$ \frac{3}{2} \space ln |x^2+1|+ \frac{3}{2} \space arctan \space (x) - 2 \space ln |x-1| - \frac {5}{2 \space (x-1)} + C$$
Una integral impropia se define por las expresiones: $$\int_{-\infty}^{b} f(x)\, dx = \lim_{a \to{-}\infty}{\int_{a}^{b} f(x)\, dx}$$ $$\int_{a}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{b \to{+}\infty}{\int_{a}^{b} f(x)\, dx}$$
Si los límites por la derecha existen y tienen valores finitos, entonces decimos que las correspondientes impropias convergen y tienen esos valores. De otra forma, se dice que la integral impropia diverge.
Son aquellas integrales de funciones continuas en intervalos de integración infinitos. Integrales que involucran funciones continuas para todo $x$ mayor o igual que un valor cualquiera $\alpha \isin I\kern-2.5pt R $ . Lo anterior quiere decir que $f$ es continua en $ [\alpha, \infty )$. En este caso la integral se define por: $$\int_{a}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{b \to{+}\infty}{\int_{a}^{b} f(x)\, dx}$$
Determinar la convergencia o divergencia de la integral:
$$\int_{a}^{\infty} \frac {4}{x^3}\, dx $$
Integrales que involucran funciones continuas para todo $x$ menor o igual que un valor cualquiera $b \isin I\kern-2.5pt R $ . Lo anterior quiere decir que 𝒇 es continua en $[−\infty,b)$. En este caso la integral se define por: $$\int_{- \infty}^{b} f(x)\, dx = \lim_{t \to{-}\infty}{\int_{t}^{b} f(x)\, dx}$$
Determinar la convergencia o divergencia de la integral: $$\int_{- \infty}^{0} \frac {1}{\sqrt [4]{5\space e^{x}}}\, dx $$
La integral propuesta diverge
Integrales que involucran funciones continuas en el conjunto de los $ I\kern-2.5pt R $. Lo anterior quiere decir que $f$ es continua en $(- \infty,\infty)$. En este caso la integral se define por: $$\int_{- \infty}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to{-}\infty}{\int_{t}^{c} f(x)\, dx} + \lim_{t \to \infty}{\int_{c}^{\infty} f(x)\, dx}$$
La gráfica de la derivada tiene la forma:
Determinar la convergencia o divergencia de la integral:
$$\int_{- \infty}^{\infty} \frac {2 \space x}{(x^2 + 1)^2} \, dx$$
Dado que esa derivada presenta una gráfica simétrica calcularemos el valor de la integral indefinida y utilizamos ese resultado para obtener la divergencia o la convergencia: $$\int \frac {2x}{(x^2+1)^2}= - \frac {1}{x^2 + 1} + C $$
Entonces obtenemos:
Calculemos el primer límite: $$\lim_{t \to{-}\infty} \bigg [ - \frac {1}{0^2 + 1} \bigg ] - \lim_{t \to{-}\infty} \bigg [ - \frac {1}{t^2 + 1} \bigg ] =$$ $$\lim_{t \to{-}\infty} \bigg [ - \frac {1}{1} \bigg ] - \lim_{t \to{-}\infty} \bigg [ - \frac {1}{(- \infty)^2 + 1} \bigg ] =$$ $$\lim_{t \to{-}\infty} \bigg [ - 1 \bigg ] - \lim_{t \to{-}\infty} \bigg [ - \frac {1}{(\infty)} \bigg ] = -1 $$
Calculemos el segundo límite: $$\lim_{t \to \infty} \bigg [ - \frac {1}{t^2 + 1} \bigg ] - \lim_{t \to \infty} \bigg [ - \frac {1}{0^2 + 1} \bigg ] =$$ $$\lim_{t \to \infty} \bigg [ - \frac {1}{(\infty)^2} \bigg ] - \lim_{t \to \infty} \bigg [ - \frac {1}{1} \bigg ] =$$ $$\lim_{t \to \infty} \bigg [ 0 \bigg ] - \lim_{t \to \infty} \bigg [ - \frac {1}{1} \bigg ] = 1 $$
Sumando el resultado de ambos límites $-1+1=0 \implies $ converge.
Estas integrales corresponden a funciones discontinuas en los intervalos de integración
El primer caso se refiere a las integrales que involucran funciones discontinuas en el extremo izquierdo del intervalo. Lo anterior quiere decir que $f$ es continua en $(\alpha,b]$. En este caso la integral se define por: $$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{t \to \alpha^+}{\int_{t}^{b} f(x)\, dx} $$
Determinar la convergencia o divergencia de la integral:
$$\int_{0}^{1} \frac {1}{\sqrt[3]{x}} \, dx $$
Podemos observar que $x = 0$ es una asíntota vertical de la gráfica, tiene discontinuidad por la izquierda:
Son integrales que involucran funciones discontinuas en el extremo derecho del intervalo. Lo anterior quiere decir que $f$ es continua en $[\alpha,b)$ En este caso la integral se define por: $$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{t \to b^-}{\int_{a}^{t} f(x)\, dx}$$
Determinar la convergencia o divergencia de la integral:
$$\int_{0}^{1} \frac {1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx $$
Se observa que en $x = 1$ existe una asíntota vertical $$\int_{0}^{1} \frac {1}{\sqrt {1 - x^2}} \, dx = \lim_{t \to 1^-}{\int_{0}^{t} \frac {1}{\sqrt {1 - x^2}} \, dx} $$ $$\lim_{t \to 1^-} \bigg [ arcsen \space (x) \bigg|_{}^t \space \bigg ] - \lim_{t \to 1^-} \bigg [ arcsen \space (x) \bigg|_0^{} \space \bigg ] $$
Son integrales que involucran funciones discontinuas en algún punto existente entre los extremos del intervalo. Lo anterior quiere decir que $f$ es continua en $[a,c)$ y $f$ es continua en $(c, b]$ . En este caso la integral se define por: $$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{t \to c^-}{\int_{a}^{t} f(x)\, dx} + \lim_{t \to c^+}{\int_{t}^{b} f(x)\, dx}$$
Determinar la convergencia o divergencia de la integral: $$\int_{-1}^{2} \frac {1}{x^3} \, dx $$
La gráfica presenta una discontinuidad de $x = 0$ por lo tanto tendremos que evaluar 2 integrales: $$\int_{-1}^{2} \frac {1}{x^3} \, dx = \int_{-1}^{0} \frac {1}{x^3} \, dx + \int_{0}^{2} \frac {1}{x^3} \, dx$$
Evaluemos la primera integral: $$\lim_{t \to 0^-} \bigg [ - \frac {1}{2 \space x^2} \bigg|_{}^t \space \bigg] - \lim_{t \to 0^-} \bigg [ - \frac {1}{2 \space x^2} \bigg|_{-1}^{} \space \bigg] $$ $$\lim_{t \to 0^-} \bigg [ - \frac {1}{2 \space (0)^2} \bigg] - \lim_{t \to 0^-} \bigg [ - \frac {1}{2 \space (-1)^2} \bigg] $$ $$\bigg [- \infty \bigg ] + \bigg [ 1 \bigg ] = - \infty \implies Diverge$$
Ahora ya sabemos que la integral diverge, no obstante evaluemos la segunda integral: $$\lim_{t \to 0^+} \bigg [ - \frac {1}{2 \space x^2} \bigg|_{}^2 \space \bigg] - \lim_{t \to 0^+} \bigg [ - \frac {1}{2 \space x^2} \bigg|_{t}^{} \space \bigg] $$ $$\lim_{t \to 0^+} \bigg [ - \frac {1}{2 \space (2)^2} \bigg] - \lim_{t \to 0^+} \bigg [ - \frac {1}{2 \space t^2} \bigg] $$ $$\lim_{t \to 0^+} \bigg [ - \frac {1}{2 \space (2)^2} \bigg] - \lim_{t \to 0^+} \bigg [ - \frac {1}{2 \space (0)^2} \bigg] $$ $$\bigg [- \frac {1}{8} \bigg ] + \bigg [ \infty \bigg ] = \infty \implies Diverge$$
John Jairo García Mora es profesor titular de la Facultad de Ingenierías del Instituto Tecnológico Metropolitano.
Con estudios superiores en:
Catedrático en: