Técnicas de Integración






JOHN JAIRO GARCÍA MORA





Departamento de Mecatronica y Electromecánica

Facultad de Ingenierías







INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

Medellín

2019

Título de la obra:
Técnicas de integración


Autor:
John Jairo García Mora



Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono
Fórmulas matemáticas: $\KaTeX$


DATOS DE LA EDICIÓN



LICENCIA

Creative Commons Attribution License 4.0.

Prefacio

Normalmente encontrar antiderivadas resulta más difícil que encontrar derivadas. Por ello, debemos familiarizarnos con algunas técnicas para determinar el conjunto de todas las antiderivadas de una función $f$, lo que se denomina integral indefinida de $f$ respecto de $x$.

En la grafica podemos observar la representación de la integral indefinida en (a) y la integral definida en (B): $$(a) \thinspace \int du = u +C \thinspace \thinspace \thinspace$$ $$(b)\thinspace \int_{a}^{b} \, du = u\bigg]_a^b = F(x)\Big]_a^b$$

Debemos distinguir la ddiferencia entre las integrales definidas e indefinidas. Una integral definida es un número mientras que una integral indefinida es una función más una constante arbitraria C.

En este trabajo pretendemos que el estudiante se familiarice con las técnicas más generales para encontrar antiderivadas. Las primeras técnicas de integración que desarrollaremos se inician con la sustitución para obtener expresiones más sencillas y luego trabajaremos algunas integrales que se obtienen al invertir las reglas para encontrar derivadas, como la regla de las potencias y la regla de la cadena.

Una gran cantidad de integrales en el curso básico de Cálculo Integral pueden evaluarse al ejecutar operaciones específicas sobre el integrando y reducir una integral dada a una o más de las formas familiares en la tabla que aparece a continuación.

Algunas integrales inmediatas

Figura 1.1_ Integrales Básicas.

En el transcurso de nuestro trabajo se darán a conocer algunas otras integrales empleadas en las técnicas que iniciaremos en el capítulo I.





Capítulo I
Técnica de sustitución

Origen y pasos de una sustitución

Veamos el significado de una función compuesta dadas las funciones $f(x)$ y $g(x)$: $$f(x)=x^5 \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace; \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace g(x)= 3x^2-x+3$$ $$(g \circ f)' (x) = (3x^2-x+3)^5$$

El método de integración por sustitución o cambio de variable tiene como origen la regla de la cadena descrita en el curso de Cálculo Diferencial: $$(g \circ f)' (x)=g'[f(x)]f'(x = \frac {dy}{du} \cdot \frac {du}{dx}$$

Sea $u = g(x)$ una función diferenciable cuyo rango es un intervalo $I$ , y sea $f$ una función definida en $I$ y $F$ una primitiva de $f$ en $I$. Entonces: $$ \int f [g(x)]g'(x)dx = \int f(u) \thinspace du = F(u) + C = F[g(x)] + C $$

Procedimientos sugerido

  1. Seleccione una sustitución $u = g(x)$.
  2. Recordemos la regla de la cadena para derivar; es conveniente cambiar de variable a la parte interna de la función compuesta.
  3. Hallar $du = g' (x) dx$
  4. Reescribir la integral en términos de la variable $u$
  5. Evaluar la integral resultante en términos de $u$
  1. Cambiar $u$ por $g(x)$ para obtener la función primitiva en términos de $x$.

Determinar la expresión de la integral indefinida: $$ \int \frac {x-5}{\sqrt[3]{x-3}}dx$$ $u = x - 3$ $\implies$ $u + 3 = x $ $\implies$ $\frac {du}{dx} = 1$ $$\int \frac {(u+3)-5}{\sqrt[3]{u}}du \implies \int \frac {u-2}{\sqrt[3]{u}}du \implies \int \frac {u-2}{u^{1/3}}du$$ $$ \int (u-2)u^{-1/3} du \implies \int u^{2/3} du - 2 \int u^{-1/3} du$$

Aplicando la integral 4 de la página 6 tenemos: $$ \frac {u^{\frac {2}{3}+1}}{\frac {2}{3}+1}+ C_1 - 2 \thinspace \frac {u^{\frac {-1}{3}+1}}{\frac {-1}{3}+1} + C_2$$ $$ \frac {u^{\frac {5}{3}}}{\frac {5}{3}} - 2 \thinspace \frac {u^{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}} + C \implies \frac {3 \thinspace \sqrt[3]{u^5}}{5} - 3 \thinspace \sqrt[3]{u^2} + C$$ $$\frac {3 \thinspace u \thinspace \sqrt[3]{u^2}}{5} - 3 \thinspace \sqrt[3]{u^2} + C \implies \Big[3 \thinspace \sqrt[3]{u^2}\Big] \Big[\frac {u}{5}-1\Big] + C$$ $$\color{#0000FF} \Big[3 \thinspace \sqrt[3]{(x-3)^2}\Big] \Big[\frac {x-3}{5}-1\Big] + C$$

En los ejercicios que incluyen funciones trigonometricas en las cuales el ángulo es una expresión compuesta, lo ideal es sustituir el ángulo. Veamos el siguiente ejemplo:

Recordemos que: $$f(u) = Sen(u) \implies f'(u) = u' \thinspace Cos (u)$$ $$ \int Sen \bigg(\frac{\pi \thinspace \theta}{2} \bigg)\thinspace Cos \bigg(\frac{\pi \thinspace \theta}{2} \bigg) d \theta$$ $$u = \bigg(\frac{\pi \thinspace \theta}{2} \bigg) \implies du = \bigg(\frac{\pi }{2} \bigg)d \theta \implies \bigg(\frac{2}{\pi} \bigg) du = d \theta$$

Reescribiendo: $$\bigg(\frac{2}{\pi} \bigg) \int Sen(u) \thinspace Cos (u) \thinspace du$$

Aplicando una nueva sustitución se tiene: $$z = Sen \space u \implies \frac {dz}{du} = Cos \space u \implies \frac {dz}{Cos \space u} = du$$

Reemplazando tenemos: $$\frac {2}{\pi} \int z \space Cos \space u \bigg (\frac {dz}{Cos \space u} \bigg )= \frac {2}{\pi} \int z \, dz$$ $$= \frac {z^2}{2}+C \implies = \frac {Sen^2 \space u}{2}+C \implies = \frac {Sen^2 \space \bigg(\frac {\pi \space \theta}{2} \bigg)}{2}+C$$

Evaluar la integral definida: $$\int_{1}^{2} \frac {1}{(3-5x)^2} \, dx$$

Hallemos la primitiva de la expresión: $$u=3-5x\implies \frac {du}{dx}=-5 \implies \frac {du}{-5}=dx$$ $$\int \frac {1}{u^2} \bigg ( \frac {du}{-5} \bigg ) \implies -\frac {1}{5} \int u^{-2} \, du = \bigg (-\frac {1}{5} \bigg ) \bigg ( \frac {u^{-2+1}}{-2+1} \bigg )=\frac {1}{5\space u}$$

Ahora podemos ejecutar uns de dos acciones posibles:

  • Deshacer el cabio de variable y evaluar con los límites de integración originales: $$\frac {1}{5} \bigg [\frac {1}{3-5\space x} \bigg |_{1}^{2} \bigg ]= \frac {1}{5} \space \bigg[\frac {1}{3- 5\space (2)} \bigg ] - \frac {1}{5} \space \bigg [\frac {1}{3- 5\space (1)} \bigg ]=$$ $$ \bigg [-\frac {1}{35} + \frac {1}{10} \bigg ]=\frac {1}{14}$$
  • La segunda opción es determinar unos nuevos límites de integración tomando como punto de partida la definición de $\space u$: $$u=3-5x \implies u = 3-5(2)=-7 \quad \quad u=3-5(1)=-\space 2$$ $$\frac {1}{5\space u} \space \bigg |_{-7}^{-2}=\bigg [\frac {1}{5 (-7}) \bigg ]-\bigg [\frac {1}{5 (-2)} \bigg ]=\bigg [-\frac {1}{35}+ \frac {1}{10} \bigg ]= \frac {1}{14}$$

Evaluar la integral definida: $$\int_{0}^{\frac {\pi}{2}} Cos \space (x) \space Sen \space (Sen \space (x)) \, dx$$ $$u= Sen \space (x)\implies \frac {du}{dx} = Cos \space (x) \implies \frac {du}{Cos \space (x)}= dx$$

Ahora los nuevos límites de integración: $$u = Sen \space \bigg (\frac {\pi}{2}\bigg )= 1 \quad \quad u = Sen \space \bigg (0 \bigg )= 0$$

Reescribimos la integral: $$\int_{0}^{1} Cos \space (x) \space \frac {Sen \space (u)}{Cos \space (x)} \, du = \int_{0}^{1} Sen \space u \, du=$$ $$- Cos \space u \space \bigg |_{0}^{1}= \bigg [- Cos \space u \space \bigg |_{}^{1} \bigg ] - \bigg [ - Cos \space u \space \bigg |_{0}^{} \bigg ]=$$ $$\bigg [- Cos \space (1) \bigg ] + \bigg [ Cos (0) \bigg ]\approxeq \bigg [0.540302...+1 \bigg ]\approxeq 0.459697...$$

Evaluar la integral definida: $$\int_{1}^{4} \frac {e^{\sqrt x}}{\sqrt x} \, dx$$

$$u=\sqrt {x} \implies \frac {du}{dx}= \frac {1}{2 \space \sqrt x}\implies 2 \space \sqrt x \space du =dx$$ $$\int_{1}^{4} \frac {e^{\sqrt x}}{\sqrt x} \, dx= \int_{1}^{4} \frac {e^{u}}{\sqrt x} [2 \space \sqrt x \space du]=2\space \int_{1}^{4} e^u \, du$$ $$2\space \int_{1}^{4} e^u \, du = 2 \space \bigg [ e^u \bigg ] \bigg |_{1}^{4}$$

Deashacemos el cambio de variable: $$2 \space \bigg [ e^{\sqrt x} \bigg ] \bigg |_{1}^{4}= 2 \space \bigg [e^{\sqrt 4}-e^{\sqrt 1} \bigg ]=2 \space [e^2-e \bigg ]\approxeq 9.341548...$$




Capítulo II
Integración por partes

Integración por partes

Esta técnica tiene como origen la regla del producto para derivadas. $$\int f(x) \sdot g'(x)\, dx = f(x) \sdot g(x) - \int g(x) \sdot f'(x)\, dx$$

Normalmente se emplean diferenciales para describir la técnica de integración por partes: $$f(x) = u \quad f'(x) \space dx = du \quad g'(x) \space dx = dv \quad g(x) = v $$

Debido a esta sustitución la intgración por partes está definida´por: $$\int u \sdot dv = u \sdot v - \int v \sdot dv$$

El problema a sortear es elegir cuál de las dos funciones es u, para ello se recomienda emplear el siguiente acrónimo denominado LIATE:

Se busca que $u$ sea una función fácil de derivar y $dv$ una función fácil de integrar:

Integrar la expresión: $$\int x^2 \space Cos \space (3 \space x) \,dx$$

Solución:

$$\begin{cases} \space u = x^2 \\ du = 2x \space dx \end{cases} \quad \begin{cases} \space dv = Cos \space (3 \space x) \,dx \\ v = \frac {Sen \space (3 \space x)}{3} \end{cases}$$ $$\int x^2 \space Cos \space (3 \space x) \,dx = \frac {x^2 \space Sen \space (3x)}{3} - \frac {2}{3} \int x \space Sen \space (3x)\, dx$$

En este punto observamos que existe otra integral que debemos resolver empleando la misma técnica: $$- \frac {2}{3} \int x \space Sen \space (3x)\, dx$$ $$\begin{cases} \space u = x \\ du = dx \end{cases} \quad \begin{cases} \space dv = Sen \space (3 \space x) \,dx \\ v = - \frac {Cos \space (3 \space x)}{3} \end{cases}$$ $$- \frac {2}{3} \int x \space Sen \space (3x)\, dx = - \frac {2}{3} \bigg [- \frac {x \space Cos \space (3x)}{3} + \frac {1}{3} \int Cos \space (3x)\, dx \bigg ]$$ $$- \frac {2}{3} \int x \space Sen \space (3x)\, dx = - \frac {2}{3} \bigg [- \frac {x \space Cos \space (3x)}{3} + \frac {Sen \space (3x)}{9} + C \bigg ]$$ $$- \frac {2}{3} \int x \space Sen \space (3x)\, dx = \bigg [\frac {x \space Cos \space (3x)}{9} - \frac {Sen \space (3x)}{27} + C \bigg ]$$

El resutado es entonces: $$\int x^2 \space Cos \space (3 \space x) \,dx=\frac {x^2 \space Sen \space (3x)}{3} + \frac {x \space Cos \space (3x)}{9} - \frac {Sen \space (3x)}{27} + C$$

Integrar la expresión: $$\int \frac {x^2 + 1}{e^x} \,dx$$

Solución:

$$\begin{cases} \space u = x^2 + 1 \\ du = 2x \space dx \end{cases} \quad \begin{cases} \space dv = e^{-x} \,dx \\ v = - e^{-x} \end{cases}$$ $$\int \frac {x^2 + 1}{e^x} \,dx = (x^2 + 1)(-e^{-x}) + 2 \space \int x\space e^{-x}\, dx$$

De nuevo aplicamos la técnica: $$\begin{cases} \space u = x \\ du = dx \end{cases} \quad \begin{cases} \space dv = e^{-x} \,dx \\ v = - e^{-x} \end{cases}$$ $$\int x\space e^{-x}\, dx = -x \space e^{-x} + \int e^{-x} \, dx$$ $$\int x\space e^{-x}\, dx = -x \space e^{-x} - e^{-x} + C $$

El resultado es entonces: $$\int \frac {x^2 + 1}{e^x} \,dx = (x^2 + 1)(-e^{-x}) + 2 \bigg [ -x \space e^{-x} - e^{-x}\bigg ] + C$$ $$\int \frac {x^2 + 1}{e^x} \,dx = - \frac {(x^2 + 1)}{e^x} - \frac {2x}{e^x} - \frac {2}{e^x}+ C$$ $$\int \frac {x^2 + 1}{e^x} \,dx = - \frac {(x^2 + 1) + 2x + 2}{e^x}+ C$$ $$\int \frac {x^2 + 1}{e^x} \,dx = - \frac {x^2 + 2x + 3}{e^x} + C $$

Integrar la expresión: $$\int Sec^3 \space (x) \,dx$$

Solución:

$$\begin{cases} \space u = Sec \space (x) \\ du = Sec \space (x) \space Tan \space (x)\space dx \end{cases} \quad \begin{cases} \space dv = Sec^2 \space (x) \,dx \\ v = Tan \space (x) \end{cases}$$ $$\int Sec^3 \space (x) \,dx = Sec \space (x) \space Tan \space (x) - \int Tan \space (x)\space Sec \space (x) \space Tan \space (x) \, dx$$ $$\int Sec^3 \space (x) \,dx = Sec \space (x) \space Tan \space (x) - \int Tan^2 \space (x)\space Sec \space (x) \, dx$$ $$\int Sec^3 \space (x) \,dx = Sec \space (x) \space Tan \space (x) - \int \bigg (Sec^2 \space (x)\space - 1 \bigg) Sec \space (x) \, dx$$ $$\int Sec^3 \space (x) \,dx = Sec \space (x) \space Tan \space (x) - \int \bigg (Sec^3 \space (x)\space - Sec \space (x) \bigg) \, dx$$ $$\int Sec^3 \space (x) \,dx = Sec \space (x) \space Tan \space (x) - \int Sec^3 \space (x)\space \, dx + \int Sec \space (x) \bigg) \, dx$$

Observamos que aparece una integral igual a la integral original, por lo tanto: $$2 \space \int Sec^3 \space (x) \,dx = Sec \space (x) \space Tan \space (x) + \int Sec \space (x) \bigg) \, dx$$

$$\int Sec^3 \space (x) \,dx = \frac {Sec \space (x) \space Tan \space (x)}{2} + \frac {1}{2} \int Sec \space (x) \space \, dx =$$ $$\int Sec^3 \space (x) \,dx = \frac {Sec \space (x) \space Tan \space (x)}{2} + \frac {ln (Tan \space (x) + Sec \space (x))}{2} +C$$ $$\int Sec^3 \space (x) \,dx = \frac {Sec \space (x) \space Tan \space (x) - ln (Tan \space (x) + Sec \space (x))}{2} +C$$

Aplica la función de valor absoluto a los argumentos de funciones logarítmicas con el fin de extender el domino de la antiderivada, por lo tanto: $$\int Sec^3 \space (x) \,dx = \frac {Sec \space (x) \space Tan \space (x) - ln (|Tan \space (x) + Sec \space (x)|)}{2} +C$$

Integrar la expresión: $$\int x \space \sqrt {1+x} \,dx$$ $$\begin{cases} \space u = x \\ du = dx \end{cases} \quad \begin{cases} \space dv = \sqrt {1+x} \,\space dx \\ v = \frac {2 \space \sqrt {(1+x)^3}}{3} \end{cases}$$

Solución:

$$\int x \space \sqrt {1+x} \,dx=\frac {2 \space x \space \sqrt {(1+x)^3}}{3}-\int \frac {2 \space \sqrt {(1+x)^3}}{3} \, dx$$
$$\int x \space \sqrt {1+x} \,dx=\frac {2 \space x \space \sqrt {(1+x)^3}}{3}- \frac {2}{3} \int \sqrt {(1+x)^3} \, dx$$ $$\int x \space \sqrt {1+x} \,dx=\frac {2 \space x \space \sqrt {(1+x)^3}}{3}- \frac {2}{3} \bigg ( \frac {2}{5} \bigg ) \sqrt {(1+x)^5} \, dx$$ $$\int x \space \sqrt {1+x} \,dx=\frac {2 \space x \space \sqrt {(1+x)^3}}{3}- \frac {4}{15} \space \sqrt {(1+x)^5} + C$$

Cuando el integrando posee una expresión algebraica la cual mediante derivadas sucesivas se llega al momento donde esa derivada es igual a CERO se procede como aparece en el siguiente vídeo:

Fórmulas de reducción

Permiten simplificar el cálculo cuando es necesario aplicar la integración por partes varias veces consecutivas, una fórmula de este tipo da lugar a una integral de la misma forma que la integral original pero con un exponente que puede ser mayor o puede ser menor.

Las fórmulas de reducción más empleadas son:

  1. $$\int \frac {du}{(a^2 \pm u^2)^m}=$$ $$\frac {1}{a^2}\bigg [ \frac {u}{(2m-2)(a^2 \pm u^2)^{m-1}}+\frac {2m-3}{2m-2}\int \frac {du}{(a^2 \pm u^2)^{m-1}} \bigg ] $$

    $m$ diferente de $1$

  2. $$\int (a^2 \pm u^2)^m \, du$$ $$\frac {u(a^2 \pm u^2)^m}{2\space m+1}+ \frac {2\space m \space a^2}{2\space m+1} \int (a^2 \pm u^2)^{m-1} \, du$$

    $m$ diferente de $\space -\frac {1}{2}$




Capítulo III
Integración trigonométrica

Tabla de integrales trigonométricas básicas


Figura 2.1_ Integrales Trigonométricas Básicas.

Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Para su resolución desde luego que son válidos los teoremas de integración.

En lo general se deben aplicar las siguientes sugerencias:

  1. Usar una identidad trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan funciones trigonométricas.
  2. Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica.
  3. Reducir una fracción impropia.
  1. Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción.
  2. Multiplicar por una forma unitaria $\frac {g(x)}{g(x)}$ que al multiplicar por el integrando $f(x)$ permita modificar adecuadamente $\frac {f(x)g(x)}{g(x)}$.
  3. Probar sustituir $f(x)$ por $\frac {1}{\frac {1}{f(x)}}$.

Resolver la integral indefinida: $$\int Sen \space (Sen \space (8x)) \space Cos \space (8x)dx\, $$ $$u = Sen \space (8x) \longrightarrow \frac{du}{dx} = 8 \space Cos \thinspace (8x) \implies \frac{du}{8 \space Cos \space (8x) } = dx$$ $$\int Sen \space (u) \space \xcancel {Cos \space (8x)}\frac{du}{8 \space \xcancel {Cos \space (8x)} } \implies \frac{1}{8} \space \int Sen \space (u) du\,\,$$ $$= - \frac{Cos \space (u)}{8} + C \implies - \frac{Cos \space (Sin \space (8x))}{8} + C$$

Evaluar integrales del tipo

$$\int Sen^m \space (x) \space Cos^n \space (x)$$
  1. Si la potencia del coseno es impar:

Escribir $n = 2k + 1$ y separar un factor Coseno y emplear la identidad:

$$Cos^2 \space (x) = 1 - Sen^2 \space (x)$$
  1. Si la potencia del seno es impar:

Escribir $n = 2k + 1$ y separar un factor Seno y emplear la identidad: $$Sen^2 \space (x) = 1 - Cos^2 \space (x)$$

  1. Si la potencia del seno y la potencia del coseno son pares:

Emplear las identidades del ángulo medio: $$Sen^2 \space = \frac{1-Cos \thinspace(2x)}{2} \space \space ; \space \space Cos^2 \space = \frac{1+Cos \space(2x)}{2}$$

Resolver la integral: $$\int Sen^2 \space (x) \space \space Cos^3 \space (x) \space dx\,$$ $$\int Sen^2 \space (x) \space \space \color {red} Cos^2 \space (x) \space \color {black} Cos \space (x) \space dx\,$$ $$\int Sen^2 \space (x) \space \space \color {red} (1 - Sen^2 \space (x) )\space \color {black} Cos \space (x) \space dx\,$$ $$u = Sen \space (x) \implies \frac {du}{dx} = Cos \space (x) \implies \frac {du}{Cos \space (x)} = dx$$ $$\int Sen^2 \space (x) \space \space \color {red} (1 - Sen^2 \space (x) )\space \color {black} Cos \space (x) \space \frac {du}{Cos \space (x)}\, \implies$$


$$\int u^2 \space \space \space \color {red} (1 - u^2 \space )\space \color {black} \space du\, \implies$$ $$\int (u^2 - u^4) \space du\, = \frac {u^3}{3} - \frac {u^5}{5} + C = \frac {Sen^3 \space (x)}{3} - \frac {Sen^5 \space (x)}{5} + C$$

Resolver la integral: $$\int Sen^3 \space (x) \space \space Cos^6 \space (x) \space dx\,$$ $$\int Sen \space (x) \space \space \color {red} Sen^2 \space (x) \space \color {black} Cos^6 \space (x) \space dx\,$$ $$\int Sen \space (x) \space \space \color {red} (1 - Cos^2 \space (x) )\space \color {black} Cos^6 \space (x) \space dx\,$$ $$u = Cos \space (x) \implies \frac {du}{dx} = -Sen \space (x) \implies \frac {du}{- Sen \space (x)} = dx$$ $$\int Sen \space (x) \space \space \color {red} (1 - u^2)\space \color {black} u^6 \space \frac {du}{- Sen \space (x)} \implies$$ $$- \space \int (1 - u^2)\space u^6 \space du = - \space \int (u^6 - u^8)\space du = - \space \frac {u^7}{7} + \frac {u^8}{8}+C$$ $$= - \space \frac {Cos^7 \space (x)}{7} + \frac {Cos^8 \space (x)}{8}+C$$

Calculemos la integral indefinida: $$\int Sen^5 \space (x) \space dx = \int \bigg (Sen^2 \space (x) \bigg)^2 \space Sen \space (x) \space dx $$ $$\int \bigg (1- Cos^2 \space (x) \bigg)^2 \space Sen \space (x) \space dx = $$ $$\int \bigg (1- 2 \space Cos^2 \space (x) + Cos^4 \space (x)\bigg) \space Sen \space (x) \space dx = $$ $$u = Cos \space (x) \implies \frac {du}{dx} = - Sen \space (x) \implies \frac {du}{- Sen \space (x)} = dx$$ $$\int - \bigg (1- 2 \space u^2 + \space u^4 \bigg) \space \xcancel {Sen \space (x)} \space \frac {du}{\xcancel {Sen \space (x)}} = $$ $$\int \bigg (-1 + 2 \space u^2 + u^4 \bigg) \space du = - u + 2 \space \frac {u^3}{3} - \frac {u^5}{5} + C$$ $$ - Cos \space (x) + 2 \space \frac {Cos^3 \space (x)}{3} - \frac {Cos^5 \space (x)}{5} + C$$

Calculemos la integral indefinida: $$\int Sen^2 \space (x) \space Cos^4 \space (x) \space dx$$

Para potencias pares de senos y cosenos en ocasiones es útil la identidad del ángulo doble: $Sen \space (2x) = 2 \space Sen \space (x) \space Cos \space (x)$ , para el coseno es: $Cos \space (2x) = Cos^2 \space (x) - Sen^2 \space (x)$ $$\int \bigg (\frac {1 - Cos \space (2x)}{2} \bigg) \bigg (\frac {1 + Cos \space (2x)}{2} \bigg)^2 \space dx = $$ $$\int \frac {1}{2} \bigg (1 - Cos \space (2x) \bigg) \space \frac {1}{4} \bigg (1 + Cos \space (2x) \bigg)^2 \space dx = $$ $$\frac {1}{8} \int \bigg (1 - Cos \space (2x) \bigg)\space \bigg (1 + 2 \space Cos \space (2x) + Cos^2 \space (2x)\bigg) \space dx$$

Aplicando la multiplicación de polinomios se obtiene: $$\frac {1}{8} \int (1 + Cos \space (2x) - Cos^2 \space (2x) - Cos^3 \space (2x)) \space dx =$$ $$\frac {1}{8} \bigg [\int dx + \int Cos \space (2x) \space dx - \int Cos^2 \space (2x) \space dx - \int Cos^3 \space (2x) \space dx \bigg]$$

Los dos primeros términos corresponden a integrales inmediatas, entonces: $$\frac {1}{8} \bigg [ x + C_1 + \frac {1}{2} \space Sen \space (2x) + C_2 - \int Cos^2 \space (2x) \space dx - \int Cos^3 \space (2x) \space dx \bigg]$$

Concéntremos ahora en la tercera integral: $$- \int Cos^2 \space (2x) \space dx = - \frac {1}{2} \int (1 + Cos \space (4x) \space dx = $$ $$- \frac {x}{2} - \frac {Sen \space (4x)}{8} + C_3$$

Solucionemos ahora la cuarta integral: $$- \int Cos^3 \space (2x) \space dx = - \int (Cos^2 \space (2x)) \space Cos \space (2x) \space dx$$ $$ - \int (1 - Sen^2 \space (2x)) \space Cos \space (2x) \space dx$$ $$u = Sen \space (2x) \implies \frac {du}{dx} = 2 \space Cos \space (2x) \implies \frac {du}{2 \cos \space (2x)} = dx$$ $$- \int (1 - u^2)\space Cos \space (2x) \space \frac {du}{2 \space cos \space (2x)} = $$ $$- \frac{1}{2} \int (1 - u^2)\space \xcancel {Cos \space (2x)} \space \frac {du}{\space \xcancel {cos \space (2x)}} = - \frac{1}{2} \int (1 - u^2) \space du =$$ $$- \frac{1}{2} \bigg [ \int du - \int u^2 \space du \bigg] = - \frac{1}{2} \bigg [ u + C_4 - \frac {u^3}{3}+ C_5 \bigg] =$$ $$ - \frac{1}{2} \bigg [ Sen \space (2x) + C_4 - \frac {Sen^3 \space (2x)}{3}+ C_5 \bigg] =$$ $$ \bigg [ - \frac{Sen \space (2x)}{2} + C_4 + \frac {Sen^3 \space (2x)}{6}+ C_5 \bigg] =$$

Poemos expresar que $C_1 + C_2 + C_3 + C_4 + C_5 = C$ y simplificando tenemos: $$\frac {1}{8} \bigg [ x + \frac {Sen \space (2x)}{2} - \frac {x}{2} + \frac {Sen \space (4x)}{8} - \frac{Sen \space (2x)}{2} + \frac {Sen^3 \space (2x)}{6}\bigg]+C$$ $$\frac {1}{8} \bigg [ \frac {x}{2} + \frac {Sen \space (4x)}{8} + \frac {Sen^3 \space (2x)}{6}\bigg]+C$$

Productos del tipo $Sen \space (mx) \space Cos \space (nx) \space dx$

En estos casos se hace necesario convertir los productos en sumas mediante las identidades:

  • $Sen \space A \space Cos \space B = \frac {Sen \space (A+B) + Sen \space (A-B)}{2}$
  • $Cos \space A \space Sen \space B = \frac {Sen \space (A+B) - Sen \space (A-B)}{2}$
  • $Cos \space A \space Cos \space B = \frac {Cos \space (A+B) + Cos \space (A-B)}{2}$
  • $Sen \space A \space Sen \space B = \frac {Cos \space (A+B) - Cos \space (A-B)}{-2}$

Evaluar la integral indefinida: $$\int Sen \space (3x) \space Cos \space (7x) \space dx$$ $$\int \frac {Sen \space (3x+7x) + Sen \space (3x-7x)}{2} \space dx =$$ $$\frac {1}{2}\int Sen \space (10x) + Sen \space (-4x) \space dx $$ $$u = 10x \implies \frac {du}{dx} = 10 \implies \frac {du}{10} = dx$$ $$w = -4x \implies \frac {dw}{dx} = -4 \implies \frac {dw}{-4} = dx$$ $$\frac {1}{2} \bigg[\int Sen \space u \space \frac {du}{10} + \int Cos \space w \space \frac {dw}{-4}\bigg] =$$

$$\frac {1}{2} \bigg[\frac {1}{10} \int Sen \space u \space du - \frac {1}{4} \int Cos \space w \space dw \bigg] =$$ $$\frac {1}{2} \bigg[-\frac {1}{10} Cos \space u + C_1 - \frac {1}{4} Sen \space w + C_2 \bigg] =$$

Al igual que en el caso anterior y que normalmente se omite: $C_1 + C_2 = C$ , es decir se expresa en el resultado. $$\frac {1}{2} \bigg[-\frac {1}{10} Cos \space (10x) - \frac {1}{4} Sen \space (-4x) \bigg] + C$$

Integrales por sustitución trigonometrica

Observemos el siguiente vídeo que nos orientará desde el teorema de Pitágoras:

Evaluar la integral indefinida: $$\int \sqrt {7 - x^2} \space dx = \int \sqrt {(\sqrt 7)^2 - x^2} \space dx$$

Acorde con lo visto en el vídeo, el triángulo a construir es:

$$Sen \space \varphi = \frac {x}{\sqrt 7} \implies x = \sqrt 7 \space Sen \space \varphi \implies x^2 = 7 \space Sen^2 \space \varphi$$ $$\frac {dx}{d \varphi} = \sqrt 7 \space Cos \space \varphi \implies dx = \sqrt 7 \space Cos \space \varphi \space d\varphi$$

Reemplazando se obtiene: $$\int \sqrt {7 - (7 \space Sen^2 \space \varphi)} \space \sqrt 7 \space Cos \space \varphi \space d\varphi =$$ $$\sqrt 7 \int \sqrt {7 \space (1 - Sen^2 \space \varphi)} \space \space Cos \space \varphi \space d\varphi =$$

$$\sqrt 7 \int \sqrt 7 \sqrt {(1 - Sen^2 \space \varphi)} \space \space Cos \space \varphi \space d\varphi =$$ $$ 7 \int \sqrt {(1 - Sen^2 \space \varphi)} \space \space Cos \space \varphi \space d\varphi =$$ $$ 7 \int \sqrt {(Cos^2 \space \varphi)} \space \space Cos \space \varphi \space d\varphi = 7 \int (Cos \space \varphi)(Cos \space \varphi)\space d\varphi =$$ $$7 \int Cos^2 \space \varphi \space d\varphi = 7 \int \frac {1+Cos \space (2 \space \varphi)}{2} \space d\varphi = $$ $$\frac {7}{2} \int \bigg [1 + Cos \space (2 \space \varphi) \bigg] \space d\varphi =\frac {7}{2} \bigg [\int d\varphi + \int Cos \space (2 \space \varphi) d\varphi \bigg] =$$ $$\frac {7}{2} \bigg [Sen^{-1} \varphi + \int Cos \space (2 \space \varphi) d\varphi \bigg]= $$

Concéntremos en la integral faltante: $$u = 2 \space \varphi \implies \frac {du}{d\varphi} = 2 \implies \frac {du}{2} = d\varphi$$ $$\int Cos \space u \space \frac {du}{2} = \frac {1}{2} \int Cos \space u \space du\implies = \frac {1}{2} \space Sen \space u$$ $$\frac {7}{2} \bigg [Sen^{-1} \varphi + \frac {1}{2} \space Sen \space(2 \space \varphi) \bigg]= $$ $$\frac {7}{2} \bigg [Sen^{-1} \space \varphi + \frac {1}{2} \space Sen \space(2 \space Sen^{-1} \space \varphi ) \bigg]= $$

Según el triángulo, $Sen \space \varphi = \bigg (\frac {x}{\sqrt 7} \bigg)$

$$\frac {7}{2} \bigg [Sen^{-1} \bigg (\frac {x}{\sqrt 7} \bigg) + \frac {1}{2} \space Sen \space(2 \space Sen^{-1} \space \varphi ) \bigg]= $$

Evaluar la integral indefinida: $$\int \sqrt {x^2 - 8} \space dx = \int \sqrt {x^2 -(\sqrt 8)^2 } \space dx$$

Acorde con lo visto en el vídeo, el triángulo a construir es:

$$Cos \space \varphi = \frac {\sqrt 8}{x} \implies x= \frac {\sqrt 8}{Cos \space \varphi} \implies x = \sqrt8 \space Sec \space \varphi \space; \space x^2 = 8 \space Sec^2 \space \varphi \space $$ $$\frac {dx}{d\varphi} = \sqrt 8 \space Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi \implies dx = \sqrt 8 \space Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi \space d\varphi$$

Ahora vamos a reemplazar estos dos últimos valores en la integral que se ha de evaluar:

$$\int \sqrt {x^2 - 8} \space dx = \int \sqrt {8 \space Sec^2 \space \varphi - 8 } \space dx = \int \sqrt {8 (\space Sec^2 \space \varphi - 1) } \space dx$$ $$\int {\sqrt 8} {\sqrt {Sec^2 \space \varphi - 1}} \space \space (\sqrt 8 \space Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi) \space d\varphi =$$ $$8\int {\sqrt {Sec^2 \space \varphi - 1}} \space \space (Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi) \space d\varphi =$$ $$8\int {\sqrt {Tan^2 \space \varphi}} \space \space (Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi) \space d\varphi =$$ $$8\int {Tan \space \varphi} \space Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi \space d\varphi = 8 \int {Tan^2 \space \varphi} \space Sec \space \varphi \space d\varphi =$$ $$8\int \bigg ({Sec^2 \space \varphi - 1} \bigg ) \space Sec \space \varphi \space d\varphi = 8\int \bigg ({Sec^3 \space \varphi - Sec \space \varphi} \bigg ) \space \space d\varphi =$$ $$8 \bigg [\int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi - \int Sec \space \varphi \space d\varphi \bigg ]=$$

Solucionemos la integral que contiene la $Sec^3 \space d\varphi$, aquí recurrimos a la integración por partes ya que: $$\int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi = \int Sec^2 \space \varphi \space Sec \space \varphi \space d\varphi$$ $$u = Sec \space \varphi \space ; \space dv = Sec^2 \space \varphi \space d\varphi$$ $$ du = Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi \space d\varphi \space ; \space v = \int Sec^2 \space \varphi \space d\varphi = Tan \space \varphi $$ $$\int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi = Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi - \int Tan \space \varphi \space Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi \space d\varphi$$

$$\int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi = Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi - \int Tan^2 \space \varphi \space Sec \space \varphi \space d\varphi$$ $$\int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi = Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi - \int (Sec^2 \space \varphi - 1)\space Sec \space \varphi \space d\varphi$$ $$\int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi = Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi - \color {red} {\int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi} + \color {black}{\int Sec \space \varphi \space d\varphi}$$ $$\int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi + \color {red} {\int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi} \color {black}= Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi + \int Sec \space \varphi \space d\varphi$$ $$2 \int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi = Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi + \int Sec \space \varphi \space d\varphi$$ $$2 \int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi = Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi + ln |Sec \space \varphi + Tan \space \varphi|$$ $$ \int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi = \frac {1}{2} \space Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi + \frac {1}{2} \space ln |Sec \space \varphi + Tan \space \varphi|$$

Retornemos a nuestra integral: $$8 \bigg [\int Sec^3 \space \varphi \space d\varphi - \int Sec \space \varphi \space d\varphi \bigg ]=$$ $$8 \bigg [\frac {1}{2} \space Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi + \frac {1}{2} \space ln |Sec \space \varphi + Tan \space \varphi| - ln |Sec \space \varphi + Tan \space \varphi|\bigg ]+C$$ $$8 \bigg [\frac {1}{2} \space Sec \space \varphi \space Tan \space \varphi - \frac {1}{2} \space ln |Sec \space \varphi + Tan \space \varphi|\bigg ]+C$$

Reemplazando con los valores del triángulo creado:

$$8 \bigg [\frac {1}{2} \bigg (\frac {x}{\sqrt 8}\sdot \frac {\sqrt {x^2 - 8}}{\sqrt 8}\bigg) - \frac {1}{2} \space ln \space \bigg |\frac {x}{\sqrt 8} + \frac {\sqrt {x^2 - 8}}{\sqrt 8} \bigg | \bigg]+C=$$ $$8 \bigg [\bigg (\frac {x \space \sqrt {x^2 - 8}}{16} \bigg) - \frac {1}{2} \space ln \space \bigg | \frac {x + \sqrt {x^2 - 8}}{\sqrt 8} \bigg | \bigg]+C=$$ $$\bigg (\frac {x \space \sqrt {x^2 - 8}}{2} \bigg) - 4 \space ln \space \bigg | \frac {x + \sqrt {x^2 - 8}}{\sqrt 8} \bigg | +C=$$






Capítulo IV
Fracciones simples

Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales

Recordemos la operación con expresiones racionales: $$\frac {4}{x+2} + \frac {3}{x-4} = \frac {4(x-4)+3(x+2)}{(x+2)\space (x-4)}= \frac {7x-10}{x^2-2x+8}$$

Ello implica que: $$\int \frac {7x-10}{x^2-2x+8}\space dx= \int \frac {4}{x+2} \space dx + \int \frac {3}{x-4} \space dx$$

Este método se puede aplicar si $f(x) = \frac {P (x)}{Q (x)} $ es una fracción propia o sea que el grado del numerador $P$ es menor que el grado del denominador $Q$. Si la fracción es impropia, se debe realizar el paso preliminar de dividir $P$ por $Q$.

Para expresiones donde el numerador y el denominador del mismo grado se utiliza el Algoritmo de Euclides (prueba de la división) para convertir la fracción en expresión mixta. Veamos un ejemplo de ello: $$\int \frac {x^2 - 8x + 1}{x^2 - 6x + 8} \space dx$$

Método de las fracciones parciales para evaluar integrales del tipo

$$\int \frac {P \space (x)}{Q \space (x)} \space dx$$
  1. Factorice $Q \space(x)$ tanto como sea posible en factores lineales y/o factores cuadráticos irreducibles.
  2. Descomponga la fracción propia como una suma de fracciones parciales de la forma:
  3. $$\frac {A}{(ax+b)^n} \space o \space \frac {Ax + B}{(ax^2 +bx+c)^n}$$
  4. Halle las constantes A, B, . . . usando el hecho de que dos polinomios son iguales si y sólo si sus coeficientes son iguales.
  5. Aplique la integral adecuada para cada fracción.

Resolver: $$\int \frac {x^3-2x+6}{(x^2+1)\space(x-1)^2} \space dx$$ $$\int \frac {x^3-2x+6}{(x^2+1)\space(x-1)^2} \space dx =\int \bigg (\frac {Ax+B}{x^2+1} + \frac {C}{x-1} + \frac {D}{(x-1)^2} \bigg )\space dx$$ $$(Ax+B) \space (x-1)^2 + C \space (x^2+1)\space (x-1) + D \space (x^2+1)$$ $$(Ax+B) \space (x^2-2x+1) + C \space (x^3 - x^2 + x -1) + Dx^2+D$$

Vamos ahora aplicar la propiedad distributiva:

$$Ax^3- 2 \space Ax^2 + Ax + Bx^2- 2 \space Bx + B $$ $$C \space x^3 - C \space x^2 + C \space x - C $$ $$Dx^2+D$$

Ahora vamos a igualar los términos que posean la misma variable elevada a la misma potencia del miembro de la izquierda con los que posean esa misma variable elevada al mismo exponente del miembro de la derecha: $$\tag {1} x^3=A \space x^3 + C \space x^3 \implies 1 = A + C$$ $$ 0 \space x^2= - 2 \space A \space x^2 + B \space x^2 - C \space x^2 + D \space x^2 $$ $$\tag {2} 0 = -2 \space A + B - C + D$$ $$-2 \space x = A \space x - 2 \space B \space x + C \space x$$ $$\tag {3} -2 = A \space - 2 \space B \space + C $$ $$\tag {4} 6 = B \space - C \space + D $$

Resolviendo el sistema 4 x 4 obtenemos: $$A = 3 \space ; B = \frac {3}{2} \space ; C = - 2 \space ; D = \frac {5}{2}$$

Reemplazando obtenemos: $$3 \int \frac {x}{x^2+1} \space dx + \frac{3}{2} \int \frac {1}{x^2+1} \space dx -2 \int \frac {1}{x-1} \space dx + \frac {5}{2} \int \frac {1}{(x-1)^2} \space dx $$

Integrando individualmente las cuatro integrales inmediatas obtenemos:

$$3 \int \frac {x}{x^2+1} \space dx = \frac{3}{2} \space ln |x^2+1| + C_1$$ $$\frac{3}{2} \int \frac {1}{x^2+1} \space dx = \frac{3}{2} \space arctan \space (x) + C_2 $$ $$-2 \int \frac {1}{x-1} \space dx = - 2 \space ln |x-1| + C_3 $$ $$\frac {5}{2} \int \frac {1}{(x-1)^2} \space dx = - \frac {5}{2 \space (x-1)} + C_4 $$

El resultado es: $$ \frac{3}{2} \space ln |x^2+1|+ \frac{3}{2} \space arctan \space (x) - 2 \space ln |x-1| - \frac {5}{2 \space (x-1)} + C$$





Capítulo V
Integrales impropias

Definición

Una integral impropia se define por las expresiones: $$\int_{-\infty}^{b} f(x)\, dx = \lim_{a \to{-}\infty}{\int_{a}^{b} f(x)\, dx}$$ $$\int_{a}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{b \to{+}\infty}{\int_{a}^{b} f(x)\, dx}$$

Si los límites por la derecha existen y tienen valores finitos, entonces decimos que las correspondientes impropias convergen y tienen esos valores. De otra forma, se dice que la integral impropia diverge.

Figura IV.1 Área de integrales impropias.

Integrales impropias tipo 1, caso 1

Son aquellas integrales de funciones continuas en intervalos de integración infinitos. Integrales que involucran funciones continuas para todo $x$ mayor o igual que un valor cualquiera $\alpha \isin I\kern-2.5pt R $ . Lo anterior quiere decir que $f$ es continua en $ [\alpha, \infty )$. En este caso la integral se define por: $$\int_{a}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{b \to{+}\infty}{\int_{a}^{b} f(x)\, dx}$$

Determinar la convergencia o divergencia de la integral: $$\int_{a}^{\infty} \frac {4}{x^3}\, dx $$

$$\int_{1}^{\infty} \frac {4}{x^3}\, dx = \lim_{t \to \infty}\int_{1}^{t} \frac {4}{x^3}\, dx = 4 \space \lim_{t \to \infty}\int_{1}^{t} x^{-3}\, dx \implies $$ $$4 \space \bigg [\lim_{t \to \infty} \bigg [\frac {x^{-2}}{-2} \bigg ]^t - \lim_{t \to \infty}\bigg [\frac {x^{-2}}{-2} \bigg ]_1 \bigg ] \implies $$ $$4 * \frac {1}{-2}\space \bigg [\lim_{t \to \infty} \bigg [\frac {1}{x^{2}} \bigg ]^t - \lim_{t \to \infty} \bigg [\frac {1}{x^{2}} \bigg ]_1 \bigg ] \implies $$ $$-2 \bigg [\lim_{t \to \infty} \bigg [\frac {1}{t^{2}} \bigg ] - \lim_{t \to \infty} \bigg [\frac {1}{1^{2}} \bigg ] \bigg ] = -2 \bigg [\lim_{t \to \infty} \bigg [\frac {1}{\infty^{2}} \bigg ] - 1\bigg ] \bigg ]$$ $$-2 \bigg [0 - 1 \bigg]= (-2)(-1) = 2 \implies Converge \space a \space 2$$

Integrales impropias tipo 1, caso 2

Integrales que involucran funciones continuas para todo $x$ menor o igual que un valor cualquiera $b \isin I\kern-2.5pt R $ . Lo anterior quiere decir que 𝒇 es continua en $[−\infty,b)$. En este caso la integral se define por: $$\int_{- \infty}^{b} f(x)\, dx = \lim_{t \to{-}\infty}{\int_{t}^{b} f(x)\, dx}$$

Determinar la convergencia o divergencia de la integral: $$\int_{- \infty}^{0} \frac {1}{\sqrt [4]{5\space e^{x}}}\, dx $$

$$\frac {1}{\sqrt [4] {5}} \int_{- \infty}^{0} \frac {1}{\sqrt [4]{e^{x}}}\, dx = \frac {1}{\sqrt [4] {5}} \int_{- \infty}^{0} \large {e^{-\frac {x}{4}}}\, dx$$ $$\frac {1}{\sqrt [4] {5}} \int_{- \infty}^{0} \large {e^{-\frac {x}{4}}}\, dx = \lim_{t \to{-}\infty}{\int_{t}^{0} {e^{-\frac {x}{4}}}\, dx}$$ $$u = - \frac {x}{4} \implies \frac {du}{dx} = - \frac {1}{4} \implies dx = - 4 \space du $$ $$\frac {1}{\sqrt [4] {5}} \int_{- \infty}^{0} \large {e^{-\frac {x}{4}}}\, dx = \frac {1}{\sqrt [4] {5}} \space \bigg [\lim_{t \to{-}\infty}{\int_{t}^{0} - 4 \space e^u\, du} \bigg ]$$ $$ -\frac {4}{\sqrt [4] {5}} \space \bigg [\lim_{t \to{-}\infty}{\int_{t}^{0} \space e^u\, du} \bigg ] = -\frac {4}{\sqrt [4] {5}} \space \bigg [\lim_{t \to{-}\infty} \bigg ( e^u\bigg|_t^0 \bigg ) \bigg ]$$ $$-\frac {4}{\sqrt [4] {5}} \space \bigg [\lim_{t \to{-}\infty} \bigg ( e^{-\frac {x}{4}}) \bigg|_t^0 \bigg ) \bigg ] = -\frac {4}{\sqrt [4] {5}} \space \bigg [\lim_{t \to{-}\infty} \bigg ( \frac {1}{\sqrt [4]{e^{x}}} \bigg|_t^0 \bigg ) \bigg ]$$
$$-\frac {4}{\sqrt [4] {5}} \space \bigg [\lim_{t \to{-}\infty} \frac {1}{\sqrt [4]{e^{x}}} \bigg|^0 - \lim_{t \to{-}\infty} \frac {1}{\sqrt [4]{e^{x}}} \bigg|_t \bigg ]$$ $$-\frac {4}{\sqrt [4] {5}} \space \bigg [\lim_{t \to{-}\infty} \frac {1}{\sqrt [4]{e^{0}}} - \lim_{t \to{-}\infty} \frac {1}{\sqrt [4]{e^{t}}} \bigg ] = -\frac {4}{\sqrt [4] {5}} \space \bigg [1 - \infty \bigg] = \infty$$

La integral propuesta diverge

Integrales impropias tipo 1, caso 3

Integrales que involucran funciones continuas en el conjunto de los $ I\kern-2.5pt R $. Lo anterior quiere decir que $f$ es continua en $(- \infty,\infty)$. En este caso la integral se define por: $$\int_{- \infty}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to{-}\infty}{\int_{t}^{c} f(x)\, dx} + \lim_{t \to \infty}{\int_{c}^{\infty} f(x)\, dx}$$

La gráfica de la derivada tiene la forma:

Determinar la convergencia o divergencia de la integral: $$\int_{- \infty}^{\infty} \frac {2 \space x}{(x^2 + 1)^2} \, dx$$

$$\int_{- \infty}^{\infty} \frac {2 \space x}{(x^2 + 1)^2} \, dx = \int_{- \infty}^{0} \frac {2 \space x}{(x^2 + 1)^2} \, dx + \int_{0}^{\infty} \frac {2 \space x}{(x^2 + 1)^2} \, dx$$ $$ \lim_{t \to{-}\infty} \int_{- \infty}^{0} \frac {2 \space x}{(x^2 + 1)^2} \, dx + \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{\infty} \frac {2 \space x}{(x^2 + 1)^2} \, dx$$

Dado que esa derivada presenta una gráfica simétrica calcularemos el valor de la integral indefinida y utilizamos ese resultado para obtener la divergencia o la convergencia: $$\int \frac {2x}{(x^2+1)^2}= - \frac {1}{x^2 + 1} + C $$

Entonces obtenemos:

$$\lim_{t \to{-}\infty} \bigg [ - \frac {1}{x^2 + 1} \bigg|_t^0 \space \bigg ] + \lim_{t \to \infty} \bigg [ - \frac {1}{x^2 + 1} \bigg|_0^{t} \space \bigg ]$$

Calculemos el primer límite: $$\lim_{t \to{-}\infty} \bigg [ - \frac {1}{0^2 + 1} \bigg ] - \lim_{t \to{-}\infty} \bigg [ - \frac {1}{t^2 + 1} \bigg ] =$$ $$\lim_{t \to{-}\infty} \bigg [ - \frac {1}{1} \bigg ] - \lim_{t \to{-}\infty} \bigg [ - \frac {1}{(- \infty)^2 + 1} \bigg ] =$$ $$\lim_{t \to{-}\infty} \bigg [ - 1 \bigg ] - \lim_{t \to{-}\infty} \bigg [ - \frac {1}{(\infty)} \bigg ] = -1 $$

Calculemos el segundo límite: $$\lim_{t \to \infty} \bigg [ - \frac {1}{t^2 + 1} \bigg ] - \lim_{t \to \infty} \bigg [ - \frac {1}{0^2 + 1} \bigg ] =$$ $$\lim_{t \to \infty} \bigg [ - \frac {1}{(\infty)^2} \bigg ] - \lim_{t \to \infty} \bigg [ - \frac {1}{1} \bigg ] =$$ $$\lim_{t \to \infty} \bigg [ 0 \bigg ] - \lim_{t \to \infty} \bigg [ - \frac {1}{1} \bigg ] = 1 $$

Sumando el resultado de ambos límites $-1+1=0 \implies $ converge.

Integrales impropias tipo 2, caso 1

Estas integrales corresponden a funciones discontinuas en los intervalos de integración

El primer caso se refiere a las integrales que involucran funciones discontinuas en el extremo izquierdo del intervalo. Lo anterior quiere decir que $f$ es continua en $(\alpha,b]$. En este caso la integral se define por: $$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{t \to \alpha^+}{\int_{t}^{b} f(x)\, dx} $$

Determinar la convergencia o divergencia de la integral: $$\int_{0}^{1} \frac {1}{\sqrt[3]{x}} \, dx $$

Podemos observar que $x = 0$ es una asíntota vertical de la gráfica, tiene discontinuidad por la izquierda:



$$\int_{0}^{1} x^{-1/3} \, dx = \lim_{t \to 0^+}{\int_{t}^{1} x^{-1/3} \, dx} $$ $$\lim_{t \to 0^+} \bigg [\frac {x^{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}} \space \bigg|_t^1 \bigg ]= \lim_{t \to 0^+} \bigg [ \space \frac {3 \space x^{\frac {2}{3}}}{2} \space \bigg|_t^1 \bigg ]= \lim_{t \to 0^+} \bigg [ \space \frac {3 \space \sqrt [3] {x^2}}{2} \space \bigg|_t^1 \bigg ]=$$ $$\lim_{t \to 0^+} \bigg [ \space \frac {3 \space \sqrt [3] {x^2}}{2} \space \bigg|_{}^1 \space \bigg ] - \lim_{t \to 0^+} \bigg [ \space \frac {3 \space \sqrt [3] {x^2}}{2} \space \bigg|_t^{} \space \bigg ]=$$ $$\lim_{t \to 0^+} \bigg [ \space \frac {3 \space \sqrt [3] {1^2}}{2} \space \bigg ] - \lim_{t \to 0^+} \bigg [ \space \frac {3 \space \sqrt [3] {t^2}}{2} \space \bigg ]=$$ $$\lim_{t \to 0^+} \bigg [ \space \frac {3 \space \sqrt [3] {1^2}}{2} \space \bigg ] - \lim_{t \to 0^+} \bigg [ \space \frac {3 \space \sqrt [3] {0^2}}{2} \space \bigg ]= \lim_{t \to 0^+} \bigg [ \space \frac {3}{2} \space \bigg ] - \lim_{t \to 0^+} \bigg [ 0 \bigg ]$$ $$\bigg [ \space \frac {3}{2} \space \bigg ] - \bigg [ 0 \bigg ]= \frac {3}{2} \implies Converge $$

Integrales impropias tipo 2, caso 2

Son integrales que involucran funciones discontinuas en el extremo derecho del intervalo. Lo anterior quiere decir que $f$ es continua en $[\alpha,b)$ En este caso la integral se define por: $$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{t \to b^-}{\int_{a}^{t} f(x)\, dx}$$

Determinar la convergencia o divergencia de la integral: $$\int_{0}^{1} \frac {1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx $$

Se observa que en $x = 1$ existe una asíntota vertical $$\int_{0}^{1} \frac {1}{\sqrt {1 - x^2}} \, dx = \lim_{t \to 1^-}{\int_{0}^{t} \frac {1}{\sqrt {1 - x^2}} \, dx} $$ $$\lim_{t \to 1^-} \bigg [ arcsen \space (x) \bigg|_{}^t \space \bigg ] - \lim_{t \to 1^-} \bigg [ arcsen \space (x) \bigg|_0^{} \space \bigg ] $$

$$\lim_{t \to 1^-} \bigg [ arcsen \space (t) \bigg ] - \lim_{t \to 1^-} \bigg [ arcsen \space (0) \bigg ] $$ $$\lim_{t \to 1^-} \bigg [ arcsen \space (1) \bigg ] - \lim_{t \to 1^-} \bigg [ arcsen \space (0) \bigg ] $$ $$\bigg [ \frac {\pi}{2} \bigg ] - \bigg [ 0 \bigg ] = \frac {\pi}{2} \implies Converge$$

Integrales impropias tipo 2, caso 3

Son integrales que involucran funciones discontinuas en algún punto existente entre los extremos del intervalo. Lo anterior quiere decir que $f$ es continua en $[a,c)$ y $f$ es continua en $(c, b]$ . En este caso la integral se define por: $$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{t \to c^-}{\int_{a}^{t} f(x)\, dx} + \lim_{t \to c^+}{\int_{t}^{b} f(x)\, dx}$$

Determinar la convergencia o divergencia de la integral: $$\int_{-1}^{2} \frac {1}{x^3} \, dx $$

La gráfica presenta una discontinuidad de $x = 0$ por lo tanto tendremos que evaluar 2 integrales: $$\int_{-1}^{2} \frac {1}{x^3} \, dx = \int_{-1}^{0} \frac {1}{x^3} \, dx + \int_{0}^{2} \frac {1}{x^3} \, dx$$

$$\lim_{t \to c^-}\int_{-1}^{c} \frac {1}{x^3} \, dx + \lim_{t \to c^+}\int_{c}^{2} \frac {1}{x^3} \, dx$$ $$\lim_{t \to c^-}\int_{-1}^{c} x^{-3} \, dx + \lim_{t \to c^+}\int_{c}^{2} x^{-3} \, dx$$ $$\lim_{t \to 0^-} \bigg [ - \frac {1}{2 \space x^2} \bigg|_{-1}^t \space \bigg] + \lim_{t \to 0^+} \bigg [ - \frac {1}{2 \space x^2} \bigg|_t^2 \space \bigg]$$

Evaluemos la primera integral: $$\lim_{t \to 0^-} \bigg [ - \frac {1}{2 \space x^2} \bigg|_{}^t \space \bigg] - \lim_{t \to 0^-} \bigg [ - \frac {1}{2 \space x^2} \bigg|_{-1}^{} \space \bigg] $$ $$\lim_{t \to 0^-} \bigg [ - \frac {1}{2 \space (0)^2} \bigg] - \lim_{t \to 0^-} \bigg [ - \frac {1}{2 \space (-1)^2} \bigg] $$ $$\bigg [- \infty \bigg ] + \bigg [ 1 \bigg ] = - \infty \implies Diverge$$

Ahora ya sabemos que la integral diverge, no obstante evaluemos la segunda integral: $$\lim_{t \to 0^+} \bigg [ - \frac {1}{2 \space x^2} \bigg|_{}^2 \space \bigg] - \lim_{t \to 0^+} \bigg [ - \frac {1}{2 \space x^2} \bigg|_{t}^{} \space \bigg] $$ $$\lim_{t \to 0^+} \bigg [ - \frac {1}{2 \space (2)^2} \bigg] - \lim_{t \to 0^+} \bigg [ - \frac {1}{2 \space t^2} \bigg] $$ $$\lim_{t \to 0^+} \bigg [ - \frac {1}{2 \space (2)^2} \bigg] - \lim_{t \to 0^+} \bigg [ - \frac {1}{2 \space (0)^2} \bigg] $$ $$\bigg [- \frac {1}{8} \bigg ] + \bigg [ \infty \bigg ] = \infty \implies Diverge$$

Caso particular




Bibliografía

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Autor

John Jairo García Mora es profesor titular de la Facultad de Ingenierías del Instituto Tecnológico Metropolitano.

Con estudios superiores en:

  1. Tecnología Mecánica
  2. Licenciatura en Educación: Tecnología
  3. Especialización en Docencia Univeristaria
  4. Especialización en Gestión Energética Industrial
  5. Mestría en Educación y Desarrollo Humano

Catedrático en:

  1. Corporación Universitaria Lasallista
  2. Universidad San Buenaventura
  3. Institución Universitaria Colegio Mayor de Antioquia
  4. Corporación Universitaria Remington